考研数学中的级数问题分析

摘 要： 级数敛散性判定、级数的求和与函数的级数展开，是研究生入学考试中的常见问题，本文以近年考研题为例进行级数问题的分析.

关键词： 考研数学 级数 敛散性 幂级数 傅里叶级数

级数是考研数学中的一个重要内容，常以解答题的形式出现，主要有如下三个方面的题型：一是级数敛散性的判定问题，二是级数的求和问题，三是函数的幂级数展开与傅里叶级数展开的问题.以下是以近年考研题为例，对级数问题所作的几点分析.

一、级数敛散性的判定

考研中级数的敛散性问题，以求幂级数的收敛域为常见，常用工具是比值判别法.对于幂级数 a x ，当 1时，幂级数发散；而当 =1时，幂级数可能收敛也可能发散，此时需通过数项级数判别法进行判断.

例1：求级数 x 收敛域.【2012数学（一）第17题第一问】

解：由 = =|x |

当x=±1时， x = ，而 ≠0，级数发散.

所以幂级数 x 收敛域是（-1，1）.

例2：求级数 x 收敛域.【2010数学（一）第18题第一问】

解：由 = =|x |

当x=±1时， x = 是交错级数，收敛.所以级数 x 收敛域是[-1，1].

二、级数的求和问题

1.数项级数求和

设级数 u 前n项和为s =u +u +…+u ，则级数所有项的和S= s .数项级数常用的求和方法有两种，一种是直接计算极限 s ，另一种方法是间接法，即借助已知的幂级数的和函数来求，常用的和函数有： x = （-1

例3：设a 为曲线y=x 与y=x （n=1，2，…）所围成区域的面积，记S = a ，S = a ，求S 与S 的值.【2009数学（一）第16题】

解：如图可知：

a =？蘩 x dx-？蘩 x dx= x - x = -

S = a = （ - ）= （ - ）=

S = a = （ - ）=（ - ）+（ - ）+…+（ - ）+…=

（-1） =- （-1） =- （-1） =ln（1+x）（-1

（-1） =-ln（1+x）

x =x+ x =x-ln（1+x）

S = =1-ln（1+1）=1-ln2.

这里，S 采用直接计算法，而S 用间接计算法，借助了已知幂级数 （-1） =ln（1+x）来求，考研中的解答题一般会涉及多个知识点.

2.幂级数求和

幂级数求和是级数中的一个难点问题，但解题思路却比较明确，一般用间接法求解.也就是先把所给幂级数转化为已知的幂级数表示，然后利用已知的幂级数求和.如何用已知幂级数去表示所求幂级数，是解题的难点.解题时应注意对所给幂级数的项进行分析，将它的项与已知幂级数的项进行比对，常可通过提取公因式、系数分拆、求导、求积等手段寻找到它们之间的关系，进而将所给幂级数用已知幂级数表示，然后求和.

例4：求级数 x 的和函数.【2012数学（一）第17题第二问】

分析：由例1可知级数的收敛域为（-1，1），注意到对于幂函数x ，分别有如下“积分”和“导数”关系：？蘩x dx= x +C，（x ）′=（2n+1）x ，拆分所给幂函数项的系数，可将其转化为幂级数 x 来求.

解：当x=0时， x =3，

当-1

x =（ x ）′+ ？蘩 x dx=（ ）′+ ？蘩 dx= + ln

x = 3 x=0 + ln -1

例5：求级数 x 和函数.【2010数学（一）第18题第二问】

解： x =x x =x？蘩 （ x ）′dx=x？蘩 （-1） x dx

=x？蘩 dx=xarctanx

三、函数的幂级数展开与傅里叶级数展开

函数的幂级数展开与傅里叶级数展开是级数，也是考研级数中常见问题.一般的，函数的幂级数展开主要用间接法，即将所给函数化为“已知函数”后再展开，而函数的傅里叶级数展开则用直接法，即通过公式先计算傅里叶系数，然后将函数展开为傅里叶级数.

1.函数的幂级数展开

用间接法将函数展开成幂级数时，常用的“已知函数”有： = x （-1

例6：将f（x）= 展开成x的幂级数.【2006数学（一）第17题】

分析：函数f（x）= 是分式结构，已知函数中具有分式结构的是 与 .

解：设 = + = ，得A-B=1A+2B=0？圯A= B=-

所以f（x）= · - · = · - · = （ ） - （-1） x = [ -（-1） ]x ，-1

2.函数的傅里叶级数展开

以2π为周期的函数f（x）的傅里叶级数为f（x）= + （a cosnx+b sinnx），其中傅里叶系数a = ？蘩 f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…），b = ？蘩 f（x）sinnxdx（n=1，2，…）.特别的：当f（x）是奇函数时a =0，b = ？蘩 f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；当f（x）是偶函数时，b =0，a = ？蘩 f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）.

例7：将f（x）=1-x （0≤x≤π）展开成余弦型级数，并求级数 的和.【2008数学（一）第19题】

解：因为f（x）=1-x 是偶函数，所以b =0.

a = ？蘩 （1-x ）cosnxdx= ？蘩 cosnxdx- ？蘩 x cosnxdx= sinnx| - ？蘩 x dsinnx

=- x sinnx| + ？蘩 xsinnxdx=- ？蘩 xdcosnx=- xcosnx| + ？蘩 cosnxdx

=- cosnπ+ sinnπ| =- ·（-1） =（-1）

而a = ？蘩 （1-x ）dx= （x- x ）| =

f（x）=1-x = + a cosnx= + （-1） cosnx

f（0）= + （-1）

（-1） = [1- ]=