与有限元法相结合的结构可靠性分析

【摘 要】本文通过对可靠度分析的概述理解到现代工程分析中实体模型不确定因素众多，进而带来分析的不准确性。基于有限元分析软件ANSYS提供的概率设计系统（PDS）的概率分析功能，使对结构的概率分析非常容易。根据结构的失效模式来确定结构功能函数，由此建立结构极限状态方程，再运用结构可靠度分析中的蒙特卡洛法（MCS法）利用结构的失效频率来估算其失效概率。在本文中提出了利用ANSYS的概率分析功能结合MCS法进行结构可靠性分析的方法，并通过一个实例具体说明了利用ANSYS的概率分析功能实现结构可靠性分析的可行性。

【关键词】可靠度分析；ANSYS；蒙特卡洛法

0 引言

有限元法作为一种实用的分析方法，随着高精度单元不断研究出来，有限元计算的精度越来越高，并且在工程实际的各个领域得到了充分的发展和应用。正是基于这个原因，许多学者研究了将有限元法运用于结构可靠性分析设计中的可能性，拓展了可靠性的理论和方法，形成一个新兴的学科交叉研究热点。

ANSYS是一个功能非常强大的有限元分析软件，它自身机提供的概率分析功能可以对模型进行结构可靠性分析，能够从有限元分析的角度计算这些非确定性的输入参数对产品性能的影响，也可以确定有限元分析的某些计算结果不满足用户指定的设计准则的概率。很好地将可靠性分析融入到了有限元计算中。

1 可靠性的基本理论

结构的可靠度是指结构在规定的时间内、规定的条件下（正常使用极限状态和承载能力极限状态）完成预定功能的概率。

如结构的基本变量由X1，X2，・・・，Xn组成，且结构功能Z为基本变量的函数，则结构的功能函数（极限状态函数）可表示为：

Z=g（X）=g（X1，X2，・・・，Xn）（1）

在概率极限状态设计理论中，极限状态方程为：

g（X1，X2，・・・，Xn）=0（2）

通常在结构设计中，基本变量X1，X2，・・・，Xn为随机变量，如果把基本变量归结为结构抗力R和载荷效应S两大类，则结构功能函数可简化为：

Z=R-S（3）

所以在概率极限状态的结构设计中，必须满足下列条件，即：

Z= g（R，S） =R-S≥0（4）

由可靠性理论知，求一个结构的可靠度就是求极限状态函数g（X）≥0的概率，所以利用ANSYS概率分析功能计算出g（X）≥0的概率，就得到了结构的可靠度。

2 ANSYS进行可靠性分析的原理

ANSYS的PDS（Probability Design System）模块是基于确定性有限元计算过程的随机分析模块， PDS模块中进行结构可靠性分析的方法主要是Monte Carlo法和响应面法。Monte Carlo方法是一种用数值模拟来解决与随机变量有关的实际工程问题的数学方法，对随机变量的数值模拟相当于是一种“试验”，通过结构的失效频率来估算结构的失效概率。本文主要对Monte Carlo法的应用做详细分析。

Monte Carlo法进行结构可靠性分析应解决两个基本问题：1）确定随机抽样数N。根据概率理论，采用频率来估算概率的基本前提是随机抽样数 N必须足够大，否则达不到精度要求。2）确定对任意分布随机变量Xi的随机抽样方法。对于Monte Carlo法，分析精度由模拟次数决定，模拟次数越多精度越高，但花费的计算时间也越多。

ANSYS的PDS模块提供了拉丁超立方抽样（LHS），其对抽样过程有“记忆”功能，强制了抽样过程中的抽样点必须离散分布于整个抽样空间，可避免直接抽样法数据点集中而导致的仿真循环重复问题，使得LHS抽样法更简单有效。

3 PDS可靠性分析实例

问题描述：两边固定的方板承受集中力载荷模型。其尺寸和材料属性均是不确定的输入参数。随机条件如下：方板边长100mm，板厚1mm，板材加工精度误差等于±0.21mm，服从均匀分布；材料弹性模量2.1e5MPa，服从高斯分布，标准方差是均值的0.05倍；密度均值8000kg/mm3，集中载荷只能是正值，且服从LOG1分布，标准方差为均值的10%。假定在使用中最大变形超过0.0548mm即认为失效。所以平板的失效准则为：

μmax≥μs=0.0548（5）

式中μmax为方板受力过程中出现的最大变形位移；μs为允许的最大位移。极限状态函数为：

g（X） =μs-μmax（6）

则板的使用可靠性即为g（X） ≥0的概率，X为上式中所有不确定量组成的向量。

计算过程中选择通用的Monte Carlo方法取抽样次数为40次，由ANSYS的PDS模块可求得方板未失效的概率结果如图1所示。

计算结果表明了方板在许用变形为0.0548mm，且置信度为95%时的使用可靠度约为98.25%。可靠度的大小与抽样次数有关，抽样次数越多得到的可靠度越精确。同时还可以利用ANSYS 中的可靠性计算方法得到结构的密度函数、变量的相关系数矩阵及累积分布函数等，其中变量UMAX的累积分布函数如图2所示。

4 结论

本文通过一个实例说明了利用ANSYS的PDS模块进行结构的可靠性分析是可行的，其方法简单，不需要单独的编制可靠性分析的程序，是有限元分析理论和可靠性理论的有机结合，为结构、特别是复杂结构的可靠性分析提供了新的方法。通过介绍随机特征的概念以及常用概率分布函数为结构工程的可靠度分析奠定了基础，并在实际应用中通过控制目标参数值以失效概率来反映出结构的可靠性同时对于控制结构的稳定可靠性具有普遍的指导意义。

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