放手学生 放飞实践

一、课前思考

“三角形的面积”是青岛版五年级多边形面积单元中的一节教学内容。学生经过四年的学习，具备了初步的动手实践能力，而第一个信息窗已经运用转化的思想，探索了平行四边形面积公式的推导，将新要学习的图形面积转化为已经学过的图形，体会了转化是解决问题的有效途径，然后紧接着去探索三角形的面积公式，顺应平行四边形面积的探索思路，学生的探索意虽犹在，但味已不浓。怎样让学生在实践的路上走得更远，对动手实践学习更有兴趣呢？苏霍姆林斯基曾经说过：“那些表面的、浅显易懂的刺激，并不能很好的激发起学生的学习兴趣。”因此在教学中，笔者设计了问题：“用一张三角形纸片，能不能推导出三角形的面积计算公式呢？”这样就激起学生的探究兴致，学生探究的热情和主动性大大提高。

二、课堂教学片断

1.谈话导入，引入探究

（1）教师谈话：我们已经成功地利用“转化”的思想探究了平行四边形的面积，今天这节课，我们继续用转化的数学思想来探索三角形的面积怎样计算。

（直接导入课题，突出“转化”的思想。）

（2）第一次探究互动，初步感受转化的思想，积累经验。

师：你能把三角形转化成我们所学过的什么图形呢？（稍停）请同学们拿出学具袋里的各种三角形，同位两人一组，想一想，拼一拼，比一比谁的办法最好。

（教师巡回指导。）

（3）学生展示并将作品贴在黑板上。

师：把你们的成果举起来秀一秀。

（教师及时捕捉学生生成的基础性资源，学生体验探究的乐趣。）

生1：我们用两个直角三角形拼成了一个平行四边形。

生2：我用两个直角三角形拼成了一个长方形。

生3：我用两个直角三角形拼成了一个正方形。

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生1 生2 生3

师：我这也有两个直角三角形，（出示不同的两个三角形）可是拼不成，为什么？

学生观察思考。

（有的学生要说，教师示意举手。）

生1：要一样的三角形才行。

师（追问）：什么是一样的三角形呢？

生1：大小一样的。

生2：底和高一样的。

生3（着急）：光底和高一样不行，还得要形状一样的三角形。（边说边找出同底等高的直角三角形和锐角三角形进行展示。）

师：怎样才能找到这样的两个三角形呢？

生：把两个三角形重合就知道了。

教师演示。（把两个三角形放在一起，重合起来。）

师：对，像这样的就是完全一样的两个三角形。

师：你还能找到两个完全一样的钝角三角形拼成我们学过的图形吗？

学生操作并展示（图1）。

师：想象一下把两个完全一样的锐角三角形拼在一起会是什么图形？

（有的学生要动手操作，示意他动脑想，培养学生的空间想象能力。）

（学生思考片刻。）

师：有想法吗？

学生展示（图2）。

师：还有不同的想法吗？（及时发现学生的问题。）

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图1 图2

师：看看这几种拼法它们有什么共同点呢？同位互相找找。

（学生带着问题同位两人讨论和交流。）

生1：都是把两个形状完全一样的三角形拼成了平行四边形、长方形和正方形。

师：长方形和正方形都是特殊的平行四边形，所以，两个完全一样的三角形，无论是直角的、钝角的还是锐角的，都可以拼成一个平行四边形。

（4）第二次探究互动，经历材料分析的过程，归纳概括三角形的面积计算公式。

师：三角形和拼出的平行四边形有什么关系？

生1：三角形的面积是平行四边形的一半。

生2：三角形的底和平行四边形的底一样。

生3：三角形的高也是平行四边形的高。

师：你能根据平行四边形的面积推导出三角形面积的计算公式吗？

同位思考并交流。

师：所拼成的平行四边形的底和三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，我们说平行四边形与三角形等底等高，三角形的面积就是和它等底等高的平行四边形的面积的一半。

生：三角形的面积=底×高÷2（板书）

让学生通过操作与合作交流，参与三角形面积公式的推导过程，使其理解三角形的面积公式，通过事实材料进行分析比较，提升学生准确、简练和严谨的数学语言表达水平，体会转化思想的应用，使操作、思维和语言表达有机结合，真正起到深化认识的作用。

2.验证拓展，合作探究

师：用一张三角形纸片，能不能推导出三角形的面积计算公式呢？

（引导学生进一步进行探究，希望能突破学生的思维定势，将探究进行到底。）

展示折叠过程：

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师：三角形的面积是折叠后的长方形的面积的2倍，所以面积应该是底乘高乘2（有的学生疑惑，有的学生兴奋地举手），请学生也拿出一个三角形折折看，有什么新的发现呢？

（学生纷纷动手操作，兴趣盎然。）

生：长方形的长是原三角形的底的一半，宽是三角形的高的一半。

（众学生领悟，小声交流，喜悦的表情。）

师：长方形的面积=长×宽×2

三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2=底×高÷2

师：用两个三角形拼在一起，或用一个三角形探索三角形的面积，实质上都是把三角形转化成已学过的图形，都是把未知转化成已知。（板书：未知转化成已知。）

这样，就进一步激发了学生的探究兴趣，促进了学生个性的发展，再一次渗透了转化的数学思想、提炼转化的思想及把未知转化成已知的思想。

三、教学反思

数学课程标准明确指出，学生的学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历实践过程。

1.关注学生的思维起点

这节课是在学生已经利用“转化”的思想探索平行四边形面积的基础上进行教学的，从学生已有的认知基础和生活经验出发，指导学生展开操作活动，把探索三角形的面积公式转化成已知图形的面积来解决，体会知识之间的内在联系。因此，在课堂教学中，教师必须全面了解学生已有的知识、相关的经验和对新知识的现有掌握情况，设定探究学习的起点。教师必须思考：学生是否掌握了今天要学习的知识和技能？在今天要学习的内容中，哪些需要合作实践？哪些需要教师的点拨和引导？所以本课的开始就直接导入课题，突出继续应用转化的思想来解决问题，然而对于什么样的两个三角形能拼成平行四边形的问题，就要加以追问和引导了。并不是底和高相等的三角形就能拼成平行四边形，而是两个三角形必须大小、形状完全一样，放在一起能重合的才行。

2.拓展学生探究的空间

数学的学习过程不应只是掌握和熟练法则、公式的的过程，还应该是充分展示学生探索、思考和挑战的积极性的过程。教师要鼓励学生亲身感受知识的形成过程，学会分析事实材料、分享发现，让学生在探究问题的过程中发扬探索和创新的精神。如果仅仅只是把两个完全一样的三角形转化成和它等底等高的平行四边形的话，通过师生、生生之间的交流、操作和互动，很容易完成，学生的思维并无大的障碍，但是这并不能很好地引起学生的探究兴趣。曾有诗写道：“无限风光在险峰。”下课后学生对于用一个三角形推导出三角形的面积的折叠方法还在不停地探索，有的甚至找来了不同的三角形继续折叠。同样都是利用转化的思想方法来探究三角形的面积计算公式，却有两种不同的途径，一种是用两个同样的三角形拼成一个平行四边形，另一种是用一个三角形折叠成两个同样的长方形，这就大大激发了学生的兴趣，为其点燃了探究的星星之火，让学生有参与探究的可能，从而形成探究之火的燎原之势。因此，笔者认为，学生其实对数学有强烈的探究愿望，关键是教师能不能为学生提供一个平台、一个机会，为学生的思维发展“推波助澜”，引导学生学会主动思考。教师要放开教材，放手学生，给他们足够的时间和空间来实践。教师不能急躁，也不要过早、过快、过多地加入到学生的小组探究中。教师只有多一份耐心，多一份对学生的信心，学生才有可能、有机会产生更多的思维碰撞。这种情境的感受和活动的体验使学生的思维得以激活。

3.让学生在比较、观察、思考中得到提升

实践的最终目的是要对获得的材料进行反复的比较、观察和思考，提炼学习方法，去伪存真、去粗取精，提升思维能力。

第一，将拼成的平行四边形和要研究的三角形进行比较，得出：三角形的面积是平行四边形的一半；三角形的底和平行四边形的底一样；三角形的高也是平行四边形的高，从而应用已知的平行四边形的面积公式推导出三角形的公式来。

第二，把一个三角形折成长方形时，又一次去比较三角形和长方形之间的关系，深入地理解和验证了三角形的面积，拓展学生的思维。公式的推导过程既是一个新旧知识相辅相成的过程，也是体现转化的过程，引发了学生对转化思想的进一步巩固和提升，并能在以后的学习中有意识地关注和应用转化思想，提炼方法，使之成为学生内心愿意接受的一种学习方式。

教师要相信学生，经历过程比得出结论更重要，一旦学生学会在实践中学习数学，掌握了研究问题的过程和方法，具备了这种能力，对其一生的发展都将是一笔巨大的财富。