正多边形画法的分析与创新启示

摘要： 利用图形和数学的特性，分析了正多边形的画法，揭示了“形”“数”结合对思维培养的重要性。论述了“使用情景源”、“形象思维源”和数学原理在工程设计中的紧密结合性，指出思维方式的教育是原创性创新设计教育的重点。

Abstract: Drawing methods of regular polygon are analyzed by using natures of figure and mathematics. The significance of thinking cultivation with combination of figure and mathematics is proposed. The close combination of‘headspring of imaginal thinking’,‘usage scenario fountain’, and mathematical theory in engineering design is expounded. Accordingly it turns out that training of thinking mode is the key of original creative design.

关键词： 正多边形；“形”“数”结合；原创性思维；创新教育

Key words: regular polygon；figure and mathematics combination；original thinking；innovation education

中图分类号：TH12 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）11-0024-02

0 引言

为早日把我国建设成创新型国家，理工科大学生创新能力的培养在现代教育中有着极其重要的作用。我国科技发展显示，我国原创性的设计理论和方法提出较少，科技创新能力还较弱。科技创新往往要有效地将自然科学和工程实践行为联系起来，而原创性的理论和方法，往往从一定的形象思维源开始，经过提炼形成开篇。这个形象思维源或来自于自然进化的具体形态，或来自于自然界的经过人脑联想、组合形成的概念形态。创新能力的培养与思维能力的训练是分不开的，尤其是基于形象思维的形象源的建立和培养。图学教育是理工科大学生进行创新思维教育的入门开篇，因而在图学教育中，除了传授作图和读图知识外，传授思维能力显得格外重要，不可因其看似简单而忽略。

画正多边形是图学教育中几何作图等分圆周的问题。通过图形、图解及数据表格，虽然使学生掌握了等分圆周及作正多边形的方法，但对一些正多边形的作法，尤其是对利用圆周等分系数表法任意等分圆周，还存在不知其所以然。由于正多边形在生产和实际生活中有广泛的应用性，如建正五角形凉亭、正多边形塔以及制作正多边形工艺装饰品等。为此，结合正多边形“形”、“数”的特点，分析了几何作图中作正多边形的各种方法。通过对思维方法的分析和启示，来锻炼形象思维和抽象思维能力，打开多种形象思维源的训练和触发，为培养创新型人才打下开篇基础。

1 用作图工具作正多边形

1.1 以外接圆的方式作正多边形 正三边形，正五边形，正六边形，正十二边形的画法分别如图1[1]、图2、图3[1]和图4[1]所示。

1.2 已知边长，作正多边形 已知边长，作正三角形。分别以已知边长的两端为圆心，以已知边长为半径，画弧，找出一个交点，然后连接所求交点到已知边长的两端即可。

已知边长，作正五边形。如图5[2]所示，首先画出已知边长AB，然后作AB的垂直平分线，并截取MC，使MC=AB。在AC的延长线上，以C为圆心，以AB/2为半径画弧，得出交点D。以A为圆心，以AD为半径画弧，交MC延长线于点E。以边长AB为半径，分别以A、B、E为圆心画弧，再求出两个交点。把点A、B、E分别与所求交点用直线连接起来即可得出正五边形。

已知边长，作正七边形。如图6[2]所示，首先画出已知边长AB，以B为圆心，以边长AB为半径画半圆弧，交AB的延长线于点D。以A为圆心，以AB为半径画弧，交半圆弧于点E。过E点作AB的垂线交AB于C。以D点为圆心，以EC为半径画弧，交半圆弧于点F。连接BF，则BF为所作正七边形的另一边。分别以B、F为圆心，以适当长度为半径画弧，得出两个交点，并作出BF的垂直平分线，交CE延长线于点O。以O点为圆心，以OF为半径画圆，并在所作圆周上，以BF为长度截取点G、H、I、J。连接A、B、F、G、H、I、J，即作出正七边形。

已知边长，作正八边形。如图7[2]所示，首先画出已知边长AB，然后作AB的垂直平分线，并截取MC，使MC=MA=MB。以C为圆心，以CA为半径画弧，交MC延长线于点O。以O为圆心，以OA为半径画圆，在所作圆周上依次以AB为长度，截取六个点，分别依次用直线连接各点即得所作的正八边形。

也可以直接用三角板和丁字尺作出正多边形。这种方法形象简单，易于理解接受，但需要理解正多边形的几何特征。图8[3]为作正六边形的示例。

2 用几何等分的方法做正多边形

2.1 利用线段等分法 利用圆作正n边形，先画一个圆如图9所示，用直线任意等分的方法将直径AB分成n等分，分别以A和B为圆心，以所作圆的直径为半径，画弧交于一点K。分别连接K点和直径AB上作出的等分点，并延长交于所作的圆上，根据对称性在圆周上可得2n个交点，依次连接圆上2n个交点，即作出正2n边形。

对于奇数正多边形，则将直径AB分成n（n为奇数）等分后，K点和AB上等分点连接时，从A到B需隔一个等分点进行连接，最后B点除外。这样在整个圆周上共得出n个交点，依次连接这n个交点，即作出奇数正n边形。

正五边形和正十边形的作图过程分别如图10和图11所示。

2.2 利用角度等分法 首先，分析正多边形的几何特征。正n边形的特征是：①每条边长相等，且每条边通过转角形成，转角的度数为360/边数；②正n边形的n个顶点外接一个圆。因此，画正n边形实际上就是n等分所对应圆周。

因此，画正n多边形可以先n等分圆周，然后顺次连接各点。

也可以选择一个参考点，画出角度，和圆相交，作出边长，用所作边长依次截取圆周，然后顺次连接各点。

角度计算如下：

正n多边形的n个顶点和圆心相连，可以形成n个相等的等腰三角形。图12所示为正n多边形的一个等腰三角形。其中，φ为正n多边形的转角，φ=360°/n，则α=（180°－360°/n）/2=90°－180°/n。θ=90°－α=180°/n。那么，在作正n多边形时，就以θ角画线和圆相交，作出边长，然后在圆周上截取等分点，连接等分点即可画出所作的正n多边形。

3 利用等分系数表

3.1 圆周等分系数表 已知圆的直径，等分数n，则查相应的等分系数，用等分系数乘以直径就得到正多边形边长（弦长），将此边长沿圆周逐段划出，就把圆周分成n等分。

圆周等分系数见表1[3]。

3.2 从解析几何角度理解 如图13所示，直径为d的圆的极坐标方程为：

r=dsinθ即=sinθ

由图12可知，形成正n边形的θ角为一系列值。当n=3，θ=60°；n=4，θ=45°；n=5，θ=36°；n=6，=30°；n=7，θ=25.7°；……。分别对所对应角度取正弦值，即得圆周等分系数表。

4 “形”“数”结合的启示

实践表明：“形”“数”结合思维方法有助于培养思维对接，锻炼形象思维能力和抽象思维能力，是形成创新能力的基础。

在工程设计过程中，构型设计（又称技术设计）和概念设计同属机械设计的上游阶段，设计的创造程度往往在这个阶段体现出来，因而是困难的、不易开创的时期。在这个阶段，原理的构思，问题的阐述，形态的分析，都需要结合“使用情景源”（工程背景）、触发原理创新的“形象思维源”（形态顿悟）和数学原理的支撑。“形”“数”结合的思想在机械工程创新设计中是不可缺或的。“形”“数”结合的结果是将形象思维与抽象思维结合起来，打开创造性思维的桥梁。如航空领域里的蜂窝状结构复合材料的发明[4]，就是首先观察到蜜蜂的蜂窝是正六角形结构，然后将这个“形”同数学中有关结构面积理论结合分析，发现正六角形结构界面小，容积大，结构合理且省材料，最后联想到航空材料问题而产生灵感。

在科技创新中，数学被誉为“科学的皇后”[4]。数学方法为科学研究提供了简洁、精确的形式化语言。而用于分析问题、阐述问题的科学模型是形象逻辑思维的产物。形象性、趣味性的数学模型，往往会超越现有条件，可以引发出基本概念、基本方向、基本方法和基本原理。

如1860年初创的纯数学理论―矩阵理论，多年后在计算机图像产生和图形变换，以及描述原子系统中得到了应用[4]。开始创立的张量理论，随后被爱因斯坦应用于相对论研究[4]。图形，形象直观，信息量大，易理解，易启发；数学则精确、抽象，逻辑推理强，易形成系统化。一旦发现切入点，将图形和数学工具有效地联系起来，并形成用数学符号系统表示，必将创造新的思维形式，开创新异的设计领域。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

纵观科技发展史，众多的重大科学发现也往往有形象源起到触发的作用，并用形象思维做了深层的分析（图形、图示解说、阐述），然后形成系统化的思维和提炼（上升到抽象思维，高度概括成数学系统）。阿基米德的杠杆原理，轮扁造轮，牛顿发现万有引力，法拉第发现电磁现象等等。

实践表明：通过观察自然界中的各种存在的现实形态，在人脑中形成大量概念形态，一经和设计应用实践相结合，往往会出现原创性的设计方法。

因此，结合工程应用背景，善于观察捕捉形象，涌现好奇心，激发想象力，触动形象思维，结合数学上升抽象思维，形成系列化逻辑体系，一定会有原创性的发现和成果。

5 结论

通过分析正多边形的不同画法，揭示了“形”“数”结合方法是培养理解图形和图示的有效途径，也是培养锻炼思维能力的重要手段。

在人们进行改造客观世界的活动中，图形和图示是人们进行表达创意和设计的基础。数学及其图形是人们进行创造的思维源泉。客观世界的任何一种物质形态及其运动形式都具有空间形式和数量关系[2]，而且可以用数学来表达。数学不仅有“抽象性”、“精确性”，即具有严格的逻辑推理；也具有“形象性”、“简洁性”，即具有直观表达和易理解应用。一旦自然科学中数学的“形象性”、“简洁性”与工程实践行为联系对应起来，那么其“抽象性”、“精确性”也必将为其带来创新性的发展和应用。

原创性研究来自于对自然界的现实存在（现实形态）的系统研究和灵敏的把握，并提炼出存在于人脑中的概念形态，经过严密推理而形成的知识体系。概念形态来自于自然形态，又高于自然形态，把宇宙万物的自然形态，同人脑中的概念形态结合起来，并形成数学及其图形，是进行系统原创性的基础。

诺贝尔奖获得者雷恩在中国作报告时曾说：“领悟思维方式比学知识更重要”[4]。因而，思维的教育才是智育的本质，是创新教育中的重点。

参考文献：

[1]王其昌，翁民玲.机械制图[M].北京：人民邮电出版社，2009，3.

[2]徐人平.设计数学[M].北京：化学工业出版社，2006，1.

[3]钟家麒，钟晓颖.工程图学[M].北京：高等教育出版社，2006，7.

[4]戴起勋，赵玉涛，周志平.科技创新与论文写作[M].北京：机械工业出版社，2009，7.

[5]颜鸿森.机械装置的创造性设计[M].北京：机械工业出版社，2006，7.