第29讲 双曲线

考情分析

除与椭圆有类同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查其方程和性质.

命题特点

双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等.但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩.

1. 双曲线的定义及其应用

例1 在[ABC中，B（4，0），C（-4，0）]，动点[A]满足条件[sinB-sinC=12sinA]时，求点[A]的轨迹方程.

解析 设[A]的坐标为[（x，y）]，在[ABC]中，由正弦定理得，[asinA=bsinB=bsinC=2R]（其中[R]为[ABC]外接圆的半径），代入[sinB-sinC=12sinA，]得[AC2R-AB2R=12?BC2R.]又[|BC|=8，][|AC|-|AB|=4，]因此[A]的轨迹为以[B，C]为焦点的双曲线的右支（除去右顶点），且[2a=4，2c=8]，即[a=2，c=4，b2=c2-a2=12].

所以[A]点的轨迹方程为[x24-y212=1（x>2）].

答案 [x24-y212=1（x>2）]

点拨 容易用错双曲线的定义，将点[M]的轨迹误认为是整条双曲线.在使用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程时，一定要注意定义中的限制条件，同时要结合具体问题的实际背景，对所要解决的问题做合理的限制.

2. 双曲线方程的求法

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）与已知双曲线[x2-4y2=4]有共同渐近线且经过点（2，2）；

（2）渐近线方程为[y=±12x]，焦距为10；

（3）经过两点[P（-3，27）]和[Q（-62，-7）]；

（4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为[2]，且过点（4，[-10]）.

解析 （1）设所求双曲线方程为[x2-4y2=λ]，

将（2，2）代入上述方程得，22-4・22=λ.

λ=-12.

所求双曲线方程为[y23-x212=1].

（2）设所求双曲线方程为[x24-y2=λ]，

当λ>0时，双曲线标准方程为[x24λ-y2λ=1]，

c=[5λ].[5λ]=5，λ=5.

当λ

c=[-5λ].[-5λ]=5，λ=-5.

所求双曲线方程为[x220-y25=1]或[y25-x220=1].

（3）设双曲线方程为mx2-ny2=1.

[9m-28n=1，72m-49n=1，]解得，[m=-175，n=-125.]

标准方程为[y225-x275=1].

（4）依题意，[e=2?a=b].

设方程为[x2a-y2a=1]，

则[16a-10a=1]，解得，[a=6].

所求双曲线方程为[x26-y26=1].

点拨 求双曲线的标准方程的方法：（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定[2a，2b或2c]，从而求出[a2，b2]，写出双曲线方程.（2）待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定[a2，b2]的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为[x2m2-y2n2=λ（λ≠0），] 再根据条件求λ的值.（3）双曲线与椭圆标准方程均可记为[mx2+ny2=1（mn≠0）]，其中[m>0且n>0，]且[m≠n]时表示椭圆；[mn

3. 双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线.

例3 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）] 的一个焦点与抛物线[y2=8x]的焦点重合，且该双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.

解析 因为抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），所以c=2，由[e=ca=2]，解得a=1.由[a2+b2=c2]，得[b2=3]，所以双曲线的方程为[x2-y23=1]，令[x2-y23=0]，可得[y=±3].故该双曲线的渐近线方程为[y=±3x].

答案 [y=±3x]

点拨 ①渐近线的求法：求双曲线[x2a2-y2b2=1][ （a>0，b>0）]的渐近线的方法是令[x2a2-y2b2=0]，即得两渐近线方程[xa±yb=0]或[y=±bax].②已知渐近线方程为[ax±by=0]时，可设双曲线方程为[a2x2-b2y2=λ（λ≠0）]，再利用其它条件确定λ的值，此方法实质是待定系数法.

4. 直线与双曲线的位置关系

例4 已知双曲线[C：x23-y2=1].

（1）若l1：y=kx+m（km≠0）与[C]交于不同的两点[M，N]，且[M，N]都在以[A（0，-1）]为圆心的圆上，求[m]的取值范围；

（2）若将（1）中的“双曲线[C]”改为“双曲线[C]的右支”，其余条件不变，求[m]的取值范围.

解析 （1）设M（x1，y1），N（x2，y2），由[y=kx+m，x2-y2=3，]

消去y得，（1-3k2）x2-6kmx-3（1+m2）=0.

l1与[C]有两个交点，

[1-3k2≠0，Δ=12?（1+m2-3k2）>0，]①

x1+x2=[6mk1-3k2]，x1x2=[-3m2+11-3k2]，

设MN的中点为G（x0，y0），

则x0=[3mk1-3k2]，y0=[m1-3k2].

AGMN，[1+m-3k23mk]・k=-1.

3k2=4m+1.②

由①②得，-[14]

（2）l1与双曲线右支有交点，

[6mk1-3k2>0，③-3m2+11-3k2>0，④]由②③④得，[m>4].

点拨 （1）①本题中第一问由于直线与双曲线有两交点，因而用判别式Δ求范围；②由于直线与双曲线右支有两不同交点，因而除判别式Δ外，还要限制[x1+x2>0，][x1x2>0].

（2）凡是涉及到直线与圆锥曲线的公共点，一般由判别式得不等关系，要注意判别式的适用范围，若圆锥曲线不完整时，应加以限制.

备考指南

1. 加强直线与双曲线的位置关系问题的复习，这类问题常涉及到双曲线的几何性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，常用设而不求法与弦长公式及韦达定理求解.

2. 注重数学思想方法的运用，如函数与方程的思想、化归与转化、数形结合的思想.

3. 近几年考双曲线的大题出现频率少，应引起重视.

限时训练

1.双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为 （ ）

A.（[22]，0） B.（[52]，0）

C.（[62]，0） D.（[3]，0）

2. 双曲线[y216-x2m=1]的离心率[e=2]，则双曲线的渐近线方程为 （ ）

A. [y=±x] B. [y=±33x]

C. [y=±2x] D. [y=±12x]

3. 已知双曲线[x24]-[y2b2]=1的右焦点与抛物线[y2=12x]的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）

A. [5] B. 4[2]

C. 3 D. 5

4. 设[F1，F2]是双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两个焦点， [P]是[C]上一点，若[PF1+PF2=6a]且[PF1F2]的最小内角为[30°]，则[C]的离心率为 （ ）

A. [2] B. [22]

C. [3] D. [433]

5. 双曲线[x2-y2=4]左支上一点[P（a，b）]到直线[y=x]的距离为[2]，则[a+b=] （ ）

A.2 B.-2

C.4 D.-4

6. 知[A-1，0，B1，0]两点，过动点[M]作[x]轴的垂线，垂足为[N]，若[MN2=λAN?NB]，当[λ

A. 圆 B. 椭圆

C. 双曲线 D. 抛物线

7. 如图，[F1]，[F2]是双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0]，[b>0）]的左、右焦点，过[F1]的直线[l]与双曲线的左、右两个分支分别交于点[A]，[B]，若[ABF2]为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为 （ ）

A. [±33] B. [±2]

C. [±15] D. [±6]

8. 已知双曲线[C：x2a2-y2b2（a>0，b>0）]的离心率为2，[A，B]为其左、右顶点，点[P]为双曲线[C]在第一象限的任意一点，点[O]为坐标原点，若[PA，PB，PO]的斜率为[k1，k2，k3]，则[m=k1k2k3]的取值范围为 （ ）

A. [（0，33）] B. [（0，3）]

C. [（0，39）] D. [（0，8）]

9. 过双曲线[x2a2-y2b2]=1（a>0，b>0）的左焦点F（-c，0）（c>0）作圆x2+y2=[a24]的切线，交双曲线右支于点P，切点为E，若[OE]=[12]（[OF]+[OP]），则双曲线的离心率为（ ）

A. [10] B. [105]

C. [102] D.[2]

10.已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，点[O]为双曲线的中心，点[P]在双曲线右支上，[PF1F2]内切圆的圆心为[Q]，圆[Q]与[x]轴相切于点A，过F2作直线[PQ]的垂线，垂足为[B]，则下列结论成立的是 （ ）

A.|OA|>|OB|

B.|OA|

C.|OA|=|OB|

D.|OA|与|OB|大小关系不确定

11.双曲线[x24-y216]=1的渐近线方程为________.

12.已知[F1，F2]为双曲线[C：x2-y2=1]的左、右焦点，点[P在C]上，[∠F1PF2=60°]，则[|PF1|・|PF2|=]_______.

13.如图，已知[AB=10]，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，[n]，…. 利用这两组同心圆可以画出以[A，B]为焦点的椭圆或双曲线. 若其中经过点[M，N]的椭圆的离心率分别是[eM，eN]，经过点[P，Q ]的双曲线的离心率分别是[eP，eQ]，则它们的大小关系是________________（用“[

14. 设[F1，F2]分别是双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点[P]，使[（OP+OF2）?F2P=0]（[O]为坐标原点），且[|PF1|=3|PF2|]，则该双曲线的离心率为__________.

15. 根据下列条件，求双曲线方程.

（1）与双曲线[x29-y216]=1有共同的渐近线，且过点[（-3，23）]；

（2）与双曲线[x216-y24]=1有公共焦点，且过点[（32，2）].

16. 如图，动点[M]到两定点[A（-1，0）]，[B（2，0）]构成[ΔMAB]，且[∠MBA=2∠MAB]，设动点[M]的轨迹为[C].

（1）求轨迹[C]的方程；

（2）设直线[y=-2x+m]与[y]轴交于点[P]，与轨迹[C]相交于点[Q，R]，且[|PQ|

17. 已知常数[a>0]，向量[m=（0，a），n=（1，0）]，经过定点[A（0，-a）]以[m+λn]为方向向量的直线与经过定点[B（0，a）]以[n+2λm]为方向向量的直线相交于[P]，其中[λ∈R].

（1）求点[P]的轨迹[C]的方程；

（2）若[a=22]，过[E（0，1）]的直线交曲线[C]于[M，N]两点，求[EM・EN]的取值范围.

18. 已知双曲线[E：x2a2-y24=1 a>0]的中心为原点[O]，左、右焦点分别为[F1]，[F2]，离心率为[355]，点[P]是直线[x=a23]上任意一点，点[Q]在双曲线[E]上，且满足[PF2?QF2=0].

（1）求实数[a]的值；

（2）证明：直线[PQ]与直线[OQ]的斜率之积是定值；

（3）若点[P]的纵坐标为[1]，过点[P]作动直线[l]与双曲线右支交于不同的两点[M]，[N]，在线段[MN]上取异于点[M]，[N]的点[H]，满足[PMPN=MHHN]，证明点[H]恒在一条定直线上.