圆自转了几圈

当圆无滑动滚动，探讨圆自转圈数的问题，学生不易理解，容易出差错，现对此加以探讨，供参考。

一、问题初探

例1 如图1，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周。这时滚动的硬币滚动了几圈？（2009佛山中考）

解：当圆无滑动滚动一个周长，则自转一周。所以只需求出圆无滑动滚动的路程即可。而圆无滑动滚动的路程需看圆上某一点滚动的路程。不妨看圆心，设两圆半径为r，O1滚动的路程为2π（r+r)=4πr，故O1自转了2周。

归纳总结：在平面内，如果一个圆绕某个封闭圆形外部无滑动地滚动一周，我们把圆心运动的路程称为公转弧长，那么圆的自然圈数：N=公转弧长圆的周长。

这类问题有下例基本情形：（1）圆沿直线无滑动地滚动,如图2，半径为r的圆沿着一条直线无滑动地滚动了a，则滚动的圈数为：N=OO12πr=a2πr。

（2）圆沿折线无滑动地滚动，如图3，半径为r的圆沿拐角α的外部滚动，圆心O运动的路线为OO1、弧O1O2（以B为圆心r为半径，圆心角为180-α）,线段O2O3，则滚动的圈数为:N=O1O2+180－α180πr+O2O32πr；

如图4，半径为r的圆沿拐角α的内部滚动，圆心O运动的路线为：线段OO1,线段O1O2，其中O1，刚好与角α两边相切，则滚动的圈数为：N=OO1+O1O22πr。

（3）圆沿曲线无滑动地滚动，如图1，O1半径为r，O2，半径为R，O1沿O2无滑动滚动一周，则圆心O1运动的路程为2π（r+R），则滚动圈数为:

N=2π（r+R）2πr=r+Rr。

二、拓展联想

1.圆在正多边形边上外侧无滑动滚动

如图4，一个等边三角形的边长与沿着它的边按箭头方向滚动的O1的周长相等，当这个圆按箭头方向的某一个位置沿等边三角形三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置则这个圆共转了几圈？

解：设等边三角形边长为a，

N=3a+在三顶点转过的弧长和圆的周长=3a+aa=4。

若圆在正多边形边上外侧无滑动滚动时，设正多边形边长为a，圆的半径为r,则滚动圈数为：

N=na+n边顶点转过的弧长和2πr=na+2πr2πr。

2.在不不规则凸多边形上外则无滑动滚动

如图6，O沿凸n边形A1A2A3…An-1An的外侧无滑动一周回到原来的位置。

①当O与凸多边形的周长相等时，证明O自身转动了两圈。②当O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时O自身转动的圈数。（2005年浙江竞赛题）

解：①当不考虑O滚动经过几个顶点的情况，则O自身恰好转动一周。当O在某一顶点转动时，不如放在A1：设∠A1=α,O转过的角度为（180°-α），弧长为180-α180πr。当转过n个顶点时，共转过的角度刚好是n多边形的外角和，而多边形的外角和是360°，则在n个顶点共转过的弧长和，刚好是圆的周长，则O转过的圈数为N=a+aa=2。

②N=b+aa=ba=1。

3.在正多边形内侧无滑动滚动时：

①在正三角形内侧无滑动滚动时,如图7，正三角形的边长a，圆的半径为r，O滑动的路程为：

O1O2+O2O3+O3O1,O1O2=O2O3=O3O1=a-2×3r,N=3×(a-2)3r2πr(r＜36a)。

②在正边形内侧无滑动滚动时，如图8，设边长为a，O半径为r，N=4×(a-2r)2πr(r＜a2)。

③如图9，在正五边形内侧滑动时，N=5×(a-2×ctg54°r)2πr。

（作者单位：浙江省衢州市菁才中学）