随机情景生成模型的参数估计

摘 要：随机规划模型由于其自身的独特优势，在金融机构及个人的长期金融资产负债管理中的应用日益广泛，而对未来不确定性的合理刻画（通常被称为情景生成）是其成功应用的关键。随机微分方程是一种生成情景的重要方法，为了提高情景生成的质量，需要对模型参数进行精确的估计。与常用的一些模型参数估计方法相比，综合参数估计法是一种更具优势的方法。

关键词：规划模型；资产负债管理；随机情景生成；参数估计

中图分类号：F810文献标识码：A文章编号：1001-6260（2008）02-0093-06

一、引言

随着计算能力的显著提升和算法研究的巨大进步，随机规划正在成为一个强有力的工具，在金融机构和个人长期资产负债管理中发挥着越来越重要的作用，并已取得了巨大的经济效益。一个比较著名的案例是Mulvey等（2000）为Towers PerrinTillinghast公司开发的一套随机资产负债管理系统，自1991年以来已在欧洲、北美、亚洲等地区的19个国家（地区）里为数千家养老金公司及保险公司提供决策咨询服务。US WEST养老基金因此节约了4.5亿～10亿美元的机会成本。

于立勇（2004）认为，与其它金融资产负债管理（ALM）模型相比，随机规划模型的主要优点是：问题刻画方便，可以把来自资产负债中的多种风险源整合在一个框架中进行考量；具有长期视野、可适应不同水平的风险规避条件且能把交易费用、市场的不完备性、税收、交易费用和管理规则等因素纳入考虑范围，具有较大的灵活性。此外，它易于求出数值解，便于给出可操作性投资策略建议。

ALM的随机规划模型是Mulvey等人于1998年提出的，它一般都是围绕着一个称为情景生成器的随机预测系统及一个资产负债决策优化模型进行设计，模型各模块之间的关系如图1所示。随机预测系统用来产生大量具有代表性的情景元素以模拟未来的不确定性，每个情景描绘了一个多阶段规划期间内模型经济变量的演变路径。把这些情景输入资产负债决策优化模型并求出模型的全局最优解，以此给资产负债管理提供决策建议。

由于所有的决策建议都是基于生成的情景加以优化得到的，因此情景质量的高低自然决定决策建议的质量。所生成的情景在多大程度上体现了未来的不确定性是个非常重要的问题。目前，在学术界和实务界主要有以下几种情景生成的方法：历史数据重构法、Russell的向量自回归模型、ORTEC的带有均衡条件的向量自回归模型VaR法及随机微分方程法。前几种方法主要借助历史数据，研究各变量的时间序列特点生成情景。而随机微分方程法则是系统考量经济因素之间内在逻辑关系，在一个统一的框架下，用一系列的随机微分方程刻画各变量发展演变特征。相对而言，这种方法产生的情景自然比仅仅借助历史数据产生的情景更准确，更有代表性。

Towers Perrin公司所用的随机预测系统CAP：Link堪称这方面的典范，它由一套包含关键经济变量的随机微分方程构成，这些经济变量包括价格、工资、通货膨胀率、不同久期的利率、股票的红利收益和红利增长率等。用微分方程刻画各变量演变进程，并产生有代表性的情景元素，且这些情景包含的经济变量在全球多个国家内同步确定。为了保证情景生成的质量，这些随机微分方程的参数估计要尽可能地准确。

二、参数估计的方法

目前，随机微分方程常用的参数估计方法主要有：极大似然估计法（maximum likelihood，ML）、广义矩方法（generalized method of moments，GMM）和模拟矩估计法（simulated moment estimation，SME）。三种方法中，模拟矩估计法不需要参数向量与模型变量间具备明显的关系，而只需将它们用模拟值代替即可，故其能广泛地应用到资产定价模型参数估计中。

（一）极大似然估计法（ML）

极大似然估计法最初于1912年由英国统计学家R.A.费希尔提出，它利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。下面以一个短期利率的随机微分方程的参数估计为例，对极大似然估计法的应用进行简要的介绍。利率方程如下：

广义矩方法(generalized method of moments,GMM)是关于参数估计的又一种方法。GMM的一般表述是由Hansen (1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM 的特例，如普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等，在很多情况下极大似然估计量也可看作是 GMM 的一个特例。许多计量经济学模型不是通过完全的分布假设而是通过矩条件来设定，例如带有不可观测的个体影响的动态平面数据模型和含有理性预期的微观经济模型，这些模型通常是使用GMM方法来估计的。

一般地，GMM估计方法就是极小化下式：

ML、GMM及SME都是利用极小化误差来估计参数值的，虽然广泛应用于经济模型的参数估计中，但他们本身还存在着一些不足之处。首先，它们对历史数据的依赖过于严重。因为经济形势往往瞬息万变，产生的情景一般要能代表未来的一种趋势。当形势变化较大时，ML估计便会产生较大误差。此外，ML估计需要有最大似然函数，当模型比较复杂时，这点往往难以满足。GMM模型和SME方法需要把模拟的矩代替模型自身矩，但如果矩本身是不够稳定的，估计必然会产生问题。

一般来讲，优良的参数估计模型应具备如下特点：满足误差最小原则、保证出自模型的样本概率最大，以及产生与真实描述统计一致的样本。针对这些特点，Mulvey等（1999）提出一个更为有效的估计方法综合参数估计（integrated parameter estimation，IPE）模型。它不仅能较好地满足上述三个特征，同时可以应用目标规划的权重来控制各种目标的相对重要性。

三、 综合参数估计法（IPE）

综合参数估计法（integrated parameter estimation,IPE）是在模拟矩估计法的基础上发展起来的。它在两个方面对SME方法进行了改善：首先，增大了目标函数集，它的目标函数集中不仅包括矩向量，还包括相关描述统计量，如自相关、分布百分位模型等。其次，目标函数的适应类型广，使IPE方法具备较大的灵活性。

测度、可行域没有限制且Ψ仅包括矩统计量时，IPE等价于SME，这说明SME法仅仅是IPE的一种特殊形式。

IPE的目标函数集不仅包括低阶矩向量，还包括高阶矩向量，如峰度和偏度等。此外，还包含相关的描述统计量，如均值、方差、自相关、分布百分位模型等。一般来讲，90th和10th的百分位统计量就已经足够，当然也可以把两个百分位之间的距离纳入统计目标。总之，IPE的目标函数可以包括任何性质，只要他们能表示为参数集的函数就可以。

IPE要求随机模型产生的样本满足给定的描述统计量，要求以这些描述统计量作为目标，并用式（11）对样本偏离区间进行限制。参数的可行域由使用者直接设限，也可以通过约束施加限制。

IPE的目标函数值是各个单独目标函数值的加权平均，每个目标函数根据其自身相对重要性赋予相应的惩罚权重。权重的选择需要慎重，要充分考虑投资者所处的经济环境。例如，风险中性的投资者重视短期资产价格，因而比风险规避者重视长期资产配置，他们的目标函数的权重必然不同。此外，通过历史数据预测将来情景在一般情况下是可以接受的，但是未来毕竟不是过去的重复，在某些时候，政策变化带来的经济趋势的变动是很剧烈的，这就需要对模型进行及时调整，以反映变化中的情况，IPE方法可以加以适当的调整来适应这种情况。

Hull（1993）提出一种类似的调整方法。首先估计参数，然后基于估计出的参数对资产集进行定价，对其用市场价格进行评估。如果偏差较大，就需要继续改进参数估计，直至满足一定的条件。这种方法能保证得到符合市场波动的一套参数。比如，在给定的利率期限结构下，这种方法用来定价是必要和足够的，但用来预测长期经济环境时，就略显不足了。

下面用例子具体介绍IPE的使用方法。对于方程（7），传统的统计方法由于其含有一个随机波动项，难以估计。用IPE方法来估计参数，首先设置目标函数集Ψ，取Ψ={均值、方差、自回归、90th、75th、25th，和10th百分位}对于i∈Ψ，让Si和Ti表示第i个模型及目标统计量。相应的IPE模型具有以下结构：

其中，^Wi是对应的目标规划的权重。采用二次误差函数，在给定的点，用根据方程（7）模拟出的Si值来算出函数值。问题的求解难度取决于决策变量的数目和类型以及目标函数的类型。

IPE参数估计问题是一个非凸规划问题，Mulley等（1999）提出了一个适应性记忆规划（adaptive memory programming，AMP）方法，取得了较好的效果。具体过程为：首先找出局部最优解，然后利用拓扑法扩大寻找范围，试图找到全局最优解。与其他全局求解算子相比，其有以下优点：（1）对目标函数要求不高，可以通过短期或长期记忆来加速搜索过程；（2）通过拓扑法可以很方便地从当前局部最优点向潜在更优点移动，便于找到潜在的最优解，且可以很方便地处理多目标函数。

四、对三种参数估计方法的比较

参数 MLGMMIPE α0.19170.27050.21 β-0.0235-0.0312-0.02 r0.73880.32150.29 σ0.12400.32720.35分别用ML、GMM和IPE方法对模型（1）的参数进行估计。所用数据为英国1980年1月―1995年3月债券月收益数据。参数估计结果见表1。

IPE的目标函数是一个包括均值、方差、1，2，3阶自相关及90th-10th百分位及75th-25th区间函数集合。函数值是二次惩罚项的线性组合，所有的统计量赋予相同权重。方差的权重由于不稳定降为0.5。目标统计量设为英国的债券票面利率的历史数据（1980.1―1995.12）。结果如表2所示。

五、小结

本文介绍了用于随机情景生成系统的参数估计方法。试验表明，IPE方法比ML法和GMM方法具备较大的优势，表现出更大的灵活性和更小的偏差，而且适应面也更广泛，可广泛用在一些比较复杂的模型参数估算中。此外， IPE权重及惩罚函数的选择也较为灵活。

在以往的多阶段随机规划中，随机模型参数的估计和决策模型的优化是各自独立的两个部分。但这些问题往往是紧密联系在一起的，因为估计和抽样带来的误差同样会导致次优的决策建议。因此，把IPE参数估计和优化决策结合起来是一个需要进一步研究的方向。

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The Parameter Estimation of Stochastic Scenario Generation Model

WEI Faming LIANG Dan CHEN Weizhong

(Institute of Modern Finance, Tongji University, Shanghai 200092)

Abstract：Stochastic programming model (SPM) is widely used in asset and liability management by many financial institutions and individual investors for its special merits. It's an essential step to describe future uncertainty (often named scenario generation) accurately to ensure its successful utilization. Stochastic differential equation is an important way to generate scenarios. Model parameters need to be estimated accurately for getting more representative scenarios. This paper briefly introduces some usual ways for estimating parameters and offers a better method named integrated parameter estimation (IPE) in detail. Then it empirically compares the effects of ML, GMM and IPE and offers the direction for further study of parameter estimation.

Keywords: programming model; ALM; stochastic scenario generation; parameter estimation

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”