浅谈列表法在初中数学中几种常见的应用

一、列表法在一元一次方程实际问题中的应用

列表法在一元一次方程实际问题中效果尤佳，例如调配问题、行程问题、工程问题、数字问题、分苹果问题，等等. 简单举例如下：

调配问题：例1 一车间原有工人80人，二车间原有工人372人.现因工作需要，从三车间调了4人到一车间.问：还需要从二车间调多少人到一车间，才能使一车间的人数是二车间人数的一半？

解 设还需要从二车间调x人到一车间，才能使一车间的人数是二车间的一半.

等量关系：调配后一车间的人数是二车间的一半

工程问题：例2 一项工程，甲独做需要10天，乙独做需要12天，丙独做需要15天.现甲、丙合做3天后，甲因有事提前离去，余下的由乙和丙合作完成，问：还需几天能完成这项工程？

解 设乙、丙还需要合作x天能完成这项工程.

等量关系：甲做3天的工作量 + 乙做x天的工作量 + 丙做（3 + x）天的工作量 = 1.

数字问题：例3 一个两位数，两个数位上的数字之和是14，如果这个数加上36，那么所得的和还是一个两位数，且这个两位数的两个数字的顺序与原来这个两位数的数字顺序恰好颠倒.问：原来这个两位数是多少？

解 设原来这个两位数的十位数字为x，则个位数字为14 - x.

等量关系：颠倒数字顺序后的新两位数 = 原来的两位 数 + 36

二、列表法在概率问题中的应用

例1 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形. 游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起能配成紫色. （1）请表示游戏所有可能出现的结果. （2）游戏者获胜的概率是多少？

这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，常常采用的方法是树状图法和列表法. 接下来仍然以“配紫色”为主要情境，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程. 题目：用图3所示的转盘进行“配紫色”游戏.

你认为谁做得对？说说你的理由.

解析 因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方法. 三、列表法在二元一次方程（组）、不等式（组）的实际问题中的应用

例1 汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆.

（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少元？

（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？

分析 （1）等量关系为：10辆A轿车的价钱 + 15辆B轿车的价钱 = 300万元；

8辆A轿车的价钱 + 18辆B轿车的价钱 = 300万元；

设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元.

解 （1）根据题意得10x + 15y = 300，8x + 18y = 300，

解得x = 15，y = 10.

解 （2）设购进A种型号轿车a辆，则购进B种型号轿车（30 - a）辆.

根据题意，得15a + 10（30 - a） ≤ 400，0.8a + 0.5（30 - a） ≥ 20.4，解此不等式组得18 ≤ a ≤ 20.

a为整数， a = 18，19，20.有三种购车方案.

点评：此题是典型的数学建模问题，用表格可以非常清晰、简明地理清题目中的条件、结论、等量关系等.