n进制下一个数论函数均值计算

摘要: 引入概念矩函数、方差函数、高阶方差,运用组合数学与概率论相关知识得到3个引理与1个定理,从而解决了n进制数字和函数的p次均值问题,得到几个均值计算公式.

关键词: 矩函数;方差函数;高阶方差;集合的分拆数;均值公式

中图分类号:O157.1;O156.4;O211.3

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)06-0448-06

Calculation on the Mean Value of Number Theoretic Function under n Binary

GU Jiangmin

(School of Information and Control Engineering, Zhejiang Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100, China)

Abstract: With the introducing of such concepts as moment function, variance function, higher order variance and the application of combinatorics and the theory of probability, the research obtained three lemmas and a theorem, which solves the N-binary problem and the mean value of function′s P times, and obtains several mean value theorems.

Key words: moment function; variance function; higher order variance; set′s partition number; mean value theorem

函数的均值问题在解析数论的研究中占有十分重要的地位,许多著名数学难题皆与之相关.因此,在这一领域的任何实质进展都必然对解析数论的发展起到重要作用. 著名的数学大师Florentin Smarandache一生中引入了许多十分有趣的数列和数论函数.他在1993年发表的《只有问题,没有解答!》一书中提出了105个关于数论函数和序列的问题和猜想,很多学者都在研究这些问题和猜想,并且有的已经得到了一些十分重要的结果，针对第21个问题“研究十进制中数字之和数列的性质” ［1］,文献［2-7］主要对二进制与三进制的一些情形进行了研究,本文进一步讨论了n进制中数字之和函数的p次均值，给出了n进制数字之和函数的p次均值计算公式Ap(N,n). 为了研究方便，我们给出下列定义.

定义1［2］ 设n≥2为一给定的正整数，对任一正整数m，假定m在n进制中表示式为

m=a1nk1+a2nk2+…+asnks,(k1>k2>・・・>ks,1≤ai≤n-1,i=1,2,・・・,s),

记a(m,n)=a1+a2+・・・+as，

称Ap(N,n)=∑m

定义2 ［8］ Bernoulli数Bp定义为xex-1=∑∞n=0Bpxpp!,(x

Bernoulli数Bp开首B0=1,B1=-12,B2=16,B4=-130,…，且B2p+1=0,(p≥1).（1）

定义3 设λi(i=1,2,・・・,p)均为非负整数,满足λ1+2λ2+3λ3+・・・+pλp=p，p元集合的一种分拆数定义为

hp(λ1,λ2,・・・,λp)=p!∏pi=1(i!)λi・λi! .（2）

如7=1×3+2×2=1+2×3=1+2+4，据定义有h7(3,2,0,0,0,0,0)=7!(2！)2・3!・2！=105，h7(1,3,0,0,0,0,0)=7!(2！)3・3!=105，h7(1,1,0,1,0,0,0)=7!2！・4!=105.

1 主要结论

定理 对N=a1nk1+a2nk2+…+asnks,(k1>k2>…>ks,1≤ai≤n-1,i=1,2,…,s)，设a0=0，ri1=ai-12+n-12ki+∑i-1j=0aj，rij=Bjj［(aji-1)+(nj-1)ki］,(j=2,3,…)，其中Bj为Bernoulli数，hp(λ1,λ2,…,λp)为p元集合的一种分拆数，则有

Ap(N,n)=∑si=1［∑λ1+2λ2+…pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pj=1rλjij］ainki.（3）

推论 若ri1=ai-12+n-12ki+∑i-1j=0aj, ri2=112(a2i-1)+(n2-1)ki,

ri4 =-1120(a4i-1)+(n4-1)ki, ri6=1252(a6i-1)+(n6-1)ki ,则

1) A1(N,n)=∑si=1ri1ainki;

2) A2(N,n)=∑si=1(r2i1+ri2)ainki;

3) A3(N,n)=∑si=1(r3i1+3ri1ri2)ainki;

4) A4(N,n)=∑si=1(r4i1+6ri12ri2+3ri22+ri4)ainki;

5) A5(N,n)=∑si=1(r5i1+10ri13ri2+15ri1ri22+5ri1ri4)ainki;

6) A6(N,n)=∑si=1(r6i1+15ri14ri2+45ri12ri22+15r3i2+15ri12ri4+15ri2ri4+ri6)ainki;

7) A7(N,n)=∑si=1(r7i1+21ri15ri2+105ri13ri22+105ri1ri23+35ri13ri4+105ri1ri2ri4+7ri1ri6)ainki.

2 定理的证明

2.1 预备知识

定义4 设ξ为任一随机变量，称V(x)=E(exξ),-∞

显然V(0)=1.本文只讨论离散型，分布列为P(ξ=ai)=pi,(i=1,2,3,…),则有

V(x)=∑∞i=1pieaix.

若∑∞i=1piapi＜+∞,因为V(x)=∑∞i=1pieaix=∑∞i=1pi∑∞j=0(aix)jj!=∑∞j=0∑∞i=1piajix[KG*5]jj!,所以vp=V(p)(0)=∑∞i=1piapi为ξ的p阶原点矩.

因R′(x)=V′(x)V(x),R″(x)=V″(x)V(x)-V′(x)2V2(x),故r1=R′(0)=v1为ξ的数学期望,r2=R″(0)=v2-v21为ξ的方差,我们知道相互独立的随机变量数学期望与方差都具有可加性,从后面的（5）式可得高阶方差也具有可加性.

引理1 设随机变量ξ1与ξ2的矩函数分别为V1(x)与V2(x),且ξ1与ξ2相互独立,则ξ1+ξ2的矩函数为V(x)=V1(x)・V2(x).

证明 因ξ1与ξ2相互独立,故exξ1与exξ2也相互独立［11］,于是由数学期望的性质可得

V(x)=E［ex(ξ1+ξ2)］=E［exξ1・exξ2］=E(exξ1)・E(exξ2)=V1(x)・V2(x).

利用归纳法，结论可进行推广：若ξ1,ξ2,…,ξk是k个相互独立的随机变量，相应矩函数为V1(x),V2(x),…,Vk(x)，则ξ=∑ki=1ξi的矩函数为

V(x)=∏ki=1Vi(x).（4）

两边取对数可得lnV(x)=∑ki=1lnVi(x).(5)

为行文方便规定:

若λt+1[KG-*2]=0，则hp(λ1,λ2,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)=0,t=1,2,…,p-1 ;

若λ1[KG-*2]=0,则hp(λ1-1,λ2,…,λp)=0.

引理2 若λi≥0,(i=1,2,…,p),λ1+2λ2+…+pλp+(p+1)λp+1=p+1,λp+1=0，则

hp(λ1-1,λ2,…,λp)+∑p-1t=1(λt+1)hp(λ1,λ2,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)=hp+1(λ1,λ2,…,λp+1).

证明 因λ1+2λ2+…+t(λt+1)+(t+1)(λt+1-1)+…+pλp=p,且λp+1=0,

故当λt+1≥1,t=1,2,…,p-1时 ,有 hp(λ1,λ2,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)=

p!(1!)λ1…(t!)λt+1((t+1)!)λt+1-1…(p!)λp・(λ1!)…((λt+1)!)((λt+1-1)!)…(λp!)=

(t+1)!t!・λt+1λt+1・p!∏pi=1(i!)λi・λi!=(t+1)λt+1(λt+1)(p+1)・(p+1)!∏p+1i=1(i!)λi・λi! ;

即

hp(λ1,λ2,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)=(t+1)λt+1(λt+1)(p+1)・hp+1(λ1,λ2,…,λp+1).(6)

又hp(λ1-1,λ2,…,λp)=p!(λ1-1)！・∏pi=2(i!)λi・λi!=λ1p+1・(p+1)!∏p+1i=1(i!)λi・λi!,(λ1≥1),

即hp(λ1-1,λ2,…,λp)=λ1p+1hp+1(λ1,λ2,…,λp+1).(7)

利用（6）与（7）可得

hp(λ1-1,λ2,…,λp)+∑p-1t=1(λt+1)hp(λ1,λ2,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)=

λ1p+1hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)+∑p-1t=1(λt+1)・(t+1)λt+1(λt+1)(p+1)hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)=

∑p-1t=0(t+1)λt+1p+1hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)=hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)p+1∑p-1t=0(t+1)λt+1 =

hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)p+1・(p+1)=hp+1(λ1,λ2,…,λp+1).

引理2得证.

为行文方便以下记V=V(x),Vp=V(p)(x)，R=R(x),Rp=R(p)(x)，p=1,2,3,・・・.

引理3 设随机变量ξ的矩函数与方差函数分别为V(x)与R(x),p=1,2,3,・・・ ，则

Vp=V・∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pi=1Rλii.（8）

证明 1）因R(x)=lnV(x)，故V(x)=eR(x)，V1=V′(x)=eR(x)・R′(x)=V・R1，则

p=1时等式成立;

2）假设，Vp=V・∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pi=1Rλii,

则Vp+1=ddxVp=V′・∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pi=1Rλii+V・R′p+

V・∑λ1+2λ2+…+pλp=p[JB3］]=

V・R1・∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pi=1Rλii+V ・Rp+1+

V・∑λ1+2λ2+…+pλp=p+1∑p-1t=1(λt+1)・hp(λ1,…λt+1,λt+1-1…,λp)Rλ11…RλttRλt+1t+1…Rλpp=

V・∑λ1+2λ2+…+pλp=p+1hp(λ1-1,λ2,…,λp)∏pi=1Rλii+V・Rp+1+

V・∑λ1+2λ2+…+pλp=p+1∑p-1t=1(λt+1)・hp(λ1,…λt+1,λt+1-1…,λp)∏pi=1Rλii=

V∑λ1+2λ2+…+pλp=p+1hp(λ1-1,λ2,…,λp)+∑p-1t=1(λt+1)hp(λ1,…,λt+1,λt+1-1,…,λp)∏pi=1Rλii+VRp+1

利用引理2可得

Vp+1=V・∑λ1+2λ2+…+pλp=p+1hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)∏pi=1Rλii+V・Rp+1=

V・∑λ1+2λ2+…+(p+1)λp+1=p+1hp+1(λ1,λ2,…,λp+1)∏pi=1Rλii.

由数学归纳法知命题成立.

记vp=V(p)(0),ri=R(i)(0),i=1,2,…，

在引理3的（8）中令x=0得

推论 vp=∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pi=1rλii（9）

2.2 问题的转化

设给定整数N=a1nk1+a2nk2+…+asnks,(k1>k2>…>ks,1≤ai≤n-1,i=1,2,…,s)，将区间［0,N)分割成s个小区间Ni=［a1nk1+…+ai-1nki-1,a1nk1+…+ai-1nki-1+ainki),第i个区间Ni中共有ainki(i=1,2,・・・,s)个整数,记Ap(Ni,n)=∑m∈Niap(m,n),则

Ap(N,n)=∑si=1Ap(Ni,n).（10）

小区间Ni=［a1nk1+…+ai-1nki-1,a1nk1+…+ai-1nki-1+ainki)中的整数m可用以下方式得到：在标有数字0,1,2,・・・,n-1的卡片n张，从中有放回地取ki张，记录数字分别为ξ1,ξ2,・・・,ξki，又在标有数字0,1,2,・・・,ai-1的卡片ai张，从中取1张数字为η，作一个n进制数m=a1nk1+・・・+ai-1nki-1+ηnki+∑kij=1ξjnj-1，记a0=0,Ti=∑i-1j=0aj，则m的数字和为ζ=a(m,n)=∑i-1j=0aj+η+∑kij=1ξj=Ti+η+∑kij=1ξj,因随机变量ξj(j=1,2,・・・,ki)的分布列为P(ξj=bj)=1n,(bj=0,1,・・・,n-1),η的分布列为P(η=c)=1ai(c=0,1,・・・,ai-1),易知ξ1,ξ2,・・・,ξki,η是相互独立的随机变量,由概率论知随机变量ζ的分布列为P(ζ=Ti+c+∑kij=1bj)=P(ηi=c)∏kij=1P(ξj=bj)=1ainki，故

Ap(Ni,n)=∑m∈Niap(m,n)=∑m∈Niζp=E(ζp)ainki.（11）

2.3 定理的证明

根据定义4易知随机变量ξj的矩函数为Vj(x)=∑n-1k=01nekx,(j=1,2,…,k)，η的矩函数为

[JZ]W(x)=∑ai-1k=01aiekx，

常数Ti的矩函数为eTix，因随机变量ξ1,ξ2,・・・,ξki,η相互独立，根据（4）式可得ζ的矩函数为Ui(x)=eTix・(∑ai-1k=01aiekx)・(∑n-1k=01nekx)ki.

根据（5）式可得ζ的方差函数为

Ri(x)=lnUi(x)=Tix+ln(∑ai-1k=01aiekx)+kiln(∑n-1k=01nekx).

因函数xex-1=∑∞n=0Bnxnn!(x

ln(∑n-1k=01nekx)=ln(1n・enx-1ex-1)=lnenx-1-lnex-1-ln n，

故有 ln(∑n-1k=01nekx)′=

nenxenx-1-exex-1=n-1+1x・nxenx-1-1x・xex-1=

(n-1)+1x∑∞p=0Bp(nx)pp!-1x∑∞p=0Bpxpp!=

(n-1)+∑∞p=1Bpnpxp-1p!-∑∞p=1Bpxp-1p!=

(n-1)+∑∞p=1Bp(np-1)pxp-1(p-1)!，

所以

ln(∑n-1k=01nekx)′=n-12+∑∞p=2Bp(np-1)pxp-1(p-1)!.(12)

利用(12)式得ln(∑ai-1k=01aiekx)′=ai-12+∑∞p=2Bp(api-1)xp-1p(p-1)!

所以Ri(x)=lnUi(x)=Tix+ln(∑ai-1k=01aiekx)+kiln(∑n-1k=01nekx)的导数为

R′i(x)=Ti+ai-12+∑∞p=2Bp(api-1)xp-1p(p-1)!+n-12ki+ki∑∞P=2Bp(np-1)xp-1p(p-1)!=

(Ti+ai-12+n-12ki)+∑∞p=2Bpp(api-1)+(np-1)kixp-1(p-1)!,(｜x｜＜2πn),

则Ri(x)=(Ti+ai-12+n-12ki)x+∑∞p=2Bpp(api-1)+(np-1)kixpp!,(｜x｜＜2πn).

故随机变量ζ的期望为

ri1=R′i(0)=Ti+ai-12+n-12ki=ai-12+n-12ki+∑i-1j=0aj，（13）

ζ的p阶方差为

rip=R(p)i(0)=Bpp(api-1)+(np-1)ki,(P=2,3,…).（14）

随机变量ζ的矩函数为Ui(x),由引理3的推论（9）式知ζ的p阶原点矩，

E(ζp)=U(p)i(0)=∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pj=1rλjij,代入（11）式可得

Ap(Ni,n)=E(ζp)ainki=∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pj=1rλjijainki,代入（10）式可得

Ap(N,n)=∑si=1Ap(Ni,n)=∑si=1∑λ1+2λ2+…+pλp=php(λ1,λ2,…,λp)∏pj=1rλjijainki.定理得证.

利用(1)、(2)、(13)及(14)各式代入（3）式可得推论.

3 结论

本文从概率分布的角度，引入集合的分拆数与高阶方差，得到任意进制下数字和函数均值公式，对于低次的公式用手算较方便，10次以内均值形式简便，高于10次均值形式不是最简的，还可以化简.

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