基于小波矩阵变换法的线天线辐射特性分析

摘要: 应用小波矩阵变换法分析了线天线的辐射特性.首先采用矩量法建立了半波振子天线的电流积分方程及输入阻抗的数学模型，然后通过Daubechies与Coifleit离散小波变换对电流积分方程进行了快速求解；并与传统矩量法进行了比较，仿真结果表明该方法能够使阻抗矩阵稀疏化,从而能够大大地提高求解速度，而且保证了计算结果的精度、节省了计算机内存.

关键词: 小波；矩量法；电流方程；稀疏矩阵；线天线

中图分类号:O 411.4 文献标志码:A 文章编号:1672-8513(2011)03-0164-05

On the Radiation Characteristics of Wire Antennas Based on Wavelet Matrix Transform

WEI Liying，DING Xuanhao

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract: [JP+2]Using wavelet matrix transform, this paper studies the radiation characteristics of wire antennas First, the current integral equation of half-wave dipole and mathematical model of input impedance are established by using the moment method. Then, the current integral equation is solved fast by using Daubechies and Coifleit discrete wavelet transform while it is compared with the traditional moment method. The simulation result shows that the wavelet method of moment can make the impedance matrix sparseness, and, as a result, the solving speed is significantly accelerated, the computer memory is saved, and the accuracy of calculation is ensured.[JP]

Key words: wavelet; moment method; current equation; sparse matrix; wire antenna

近年来，小波分析与矩量法(Moment Method)结合来求解线天线积分方程的方法得到了较为广泛的重视和应用.小波矩量法，即在矩量法中应用小波作为基函数的方法.以小波作为基函数和权函数的矩量法叫做小波伽略金方法(WaveletGalerkin Method).小波通过2种方式与矩量法相结合:小波展开(Wavelet Expansion)和小波变换(Wavelet Transform).不论哪种小波方法,在解电磁数值计算中都有一个共同的优势,即在小波基对应的矩阵方程中,系数矩阵均为一稀疏矩阵,从而都能够提高计算速度.

然而小波变换比小波展开有着明显的优点，首先，因为一些小波函数没有显示的数学表达式(如Daubechies，Coifleit小波等)，故这类函数未必能直接作展开函数.但一旦得知它们的低通滤波和高通滤波系数则可进行小波分解，那么小波变换方法可使具有良好特性但无显示表达式的小波函数得以广泛应用；其次，对直接用小波展开方法，由于内积涉及到一种广义主值积分问题，计算量较大.而采用小波矩阵变换的方法，则可大大减少了计算量.[JP]

鉴于此，本文将采用Daubechies与Coifleit离散小波变换计算半波振子天线的电流分布，基于此，进一步分析、计算了天线的输入阻抗等电特性，并对各种方法作了详细比较分析.

1 线天线的矩量法分析

11 任意细线天线的积分方程

用矩量法计算线天线，通常要使用算子方程［1-2］：

[KH*2]

[JZ(]Ei=(jωA+Δφ)=L(I)[JZ)],[JY]（1）[KH*2D]

其中：

A[KG-*2]=[SX(]μ4π[SX)]∫[KG-*2]s[SX(]JR[SX)]e-jkRds，σ[KG-*3]=[KG-*3]-[SX(]1jω[SX)]Δ•J，φ=[SX(]14πε[SX)]∫[KG-*2]s[SX(]σR[SX)]e-jkRds，[JP]积分区域在天线表面.

12 矩量法求解线天线的积分方程

本文计算时采用脉冲基点匹配法去解算子方程（1）.

脉冲基函数：

[KH*2]

[JZ(]h(x)=[JB({]1,x∈［-[SX(]12[SX)],[SX(]12[SX)]］0,其它[JB)][JZ)]，[JY]（2）[KH*2D]

权函数为δ函数，即[JP5]ωm=δ(z-z′)，（m=1,2,…,N）.[JP]

通过计算［2］可将积分方程化为矩阵形式：[KH*2]

[JZ(]Z•I=V[JZ)].[JY]（3）

[KH*2]

若阻抗矩阵的逆矩阵存在，则求解上式就可得到天线上的电流分布：[KH*2]

[JZ(]I=Z-1•V[JZ)].[JY]（4）[KH*2D]

式中：Z是广义阻抗矩阵；V是激励电压向量.

如果馈电点位于Ii,则天线的输入阻抗（Input Resistance）为：[KH*2]

[JZ(]Zin=[SX(]ViIi[SX)]=Rin+jXin，[JZ)][JY]（5）

[KH*2D]

其中，Vi和Ii分别表示馈电点的电压和电流.

2 Daubechies和Coifleit小波变换在矩量法中的应用

21 Daubechies和Coifleit小波的滤波器系数

6阶Daubechies(DB6)和4阶Coifleit(又叫Coifman)小波(Coif2)均为正交紧支撑小波，它们滤波器系数非零元个数都是12.

22 正交小波变换在矩量法中的应用

将离散小波变换应用于线天线矩量法的计算中［3-4］.根据小波变换矩阵的构造方法［5-7］，可以构造出相应的小波变换矩阵W，由于以上2种小波的正交性，则有W-1=WT，对（3）式两边同时进行变换得:[JP]

WZW-1•WI=WZWT•WI=WV.[JY](6)

式中对阻抗矩阵Z及向量V和I进行离散小波变换，令Z′=WZWT,I′=WI,V′=WV,则上式化为Z′I′=V′.

通过以上变换得到稀疏矩阵Z′，由本文算例分析可知，解此稀疏矩阵方程与直接用传统矩量法解（3）式相比，能够明显地提高计算速度.

3 算例分析

本算例分别采用DB6和Coif2小波来分析半波振子天线的辐射问题.如图1所示：半波振子天线平行于z轴放置，在x轴和y轴上的分量均为0.天线的参数为：半波振子天线长为L，半径为a，且天线

长度与波长的关系为L=05λ，设λ=1m，因此波数为k=2π/λ=2π.馈电电压V=1V.

将天线分为104段，天线半径取a=10μm，半波振子天线电流分布计算结果如图2所示.

由图2可见，本文算法所得结果均与矩量法相吻合；从而验证了本文方法有较高的精确度.若选取γ=10-2阈值，阻抗矩阵Z′见图3所示，图中空白部分表示零元素.显然，Z′是一个稀疏矩阵.

分别表示采用Coif2和DB6小波算法所得到的阻抗矩阵的稀疏化形式.设压缩率表示矩阵中非零元素与矩阵中元素总数之比，显然，DB6小波对应的Z′压缩率小于Coif2小波对应的Z′的压缩率.具体数据见表3.

由于利用了Mallat分解算法进行小波变换，使线天线阻抗矩阵稀疏化，计算量是O(Nlog(N))，而直接通过矩阵求逆来解稠密的矩阵方程的计算量是O(N3)，从而可大大节省计算量.为便于比较，先采用Gauss-Jordan全主元消去法直接求解矩量法离散化后所得的矩阵方程,然后利用在矩量法中引入小波变换后,使原来的稠密系数矩阵方程变成稀疏系数矩阵方程,最后再结合双共轭梯度法求解此稀疏矩阵方程，可以明显地节省计算时间.从图3还可以看出，大量的零元素还减少了计算机的内存需求.表3给出了计算资源比较情况，从计算结果和计算效率来看，利用本文方法加速后可大大减少了计算机内存和计算时间.同时还给出了2种小波算法的压缩率比较情况.具体数据见表3.

由表3可知，Coif2小波变换的CPU运行时间比DB6小波变换的CPU运行时间少.这主要是因为Coifleit小波尺度函数和母小波函数都有消失矩的属性，而Daubechies小波仅母小波函数有消失矩.对于平滑函数，Coifleit小波不仅具有一般小波的一些特性，而且其尺度函数还具有一个类似狄拉克δ函数一样的抽样特性，Coifleit函数的此特性使得我们可以将积分运算变成单个点的积分，进而可以简化积分，从而大大加快了小波函数数值积分的速度.因此，在本算例中Coif2小波矩阵变换比DB6小波矩阵变换速度快，但在压缩率方面它却不及DB6小波；其次，从计算机资源方面考虑，Coif2小波变换的内存开销比DB6小波变换花费的要大点.而传统的矩量法在CPU运行时间及占用内存方面比这2种小波方法消耗的都多.进一步说明了本文给出的小波方法的高效性与有效性.这些计算结果均在同一台主频为170GHz,内存为1GB的计算机上使用Matlab 65编程实现，成本需求与上述理论分析所得的结论基本吻合.

同时，半径仍取a=10μm，天线分段数为104，天线长L=05m时，得到辐射方向如图4(a)和(b)所表示的半波振子的E面方向图和H面的归一化方向图.

由计算结果和仿真结果的对比可以看出，天线方向图的计算结果与2种小波方法DB6和Coif2的仿真结果吻合得很好，从而说明了本文2种算法是很精确的，这些计算结果均在同一台主频为170GHz,内存为1GB的计算机上使用Matlab 65编程实现，进一步有效地验证了本文算法的正确性.

下面用本文算法与传统矩量法来分析输入阻抗值的比较情况，将天线半径取为10μm，且天线的分段数分别取为67,89和104进行比较，详细数据见表4.输入阻抗的参考值为（1083345+j439）Ω.

由表4可知，输入阻抗在天线半径为10μm且分段数为104时与实际阻抗值之间的误差最小，由此可以推断出天线的分段数越多，则求解所得到的阻抗值就越接近于真理值.从以上输入阻抗值比较中可以看出，在天线半径为10μm时，本文所用的2种小波算法所求得的阻抗值与实际参考值的误差非常小，而传统矩量法所求解的结果误差相对大一点，从而说明本文2种算法在求解半波振子天线阻抗值中具有较高的精确度.

图5(a)和(b)分别给出了用本文2种小波方法和传统矩量法计算天线的输入电阻和输入电抗所得的频率响应变化曲线.计算时间比较见表5.在此采用分段数为N=104，天线长L=05m，由图5可知，半波振子天线的频率在100~900MHz之间变化.

由图5计算结果可以看出，本文2种小波算法与传统矩量法仿真结果吻合得很好，小波方法与传统矩量法所求得的输入阻抗特性随频率变化的趋势基本相同，这些计算结果均在同一台主频为170GHz,内存为1GB的计算机上使用Matlab 65编程实现，从而再次有效地验证了本文方法的有效性与正确性.图中显示半波振子的中心频率均在500MHz左右.而且在中心频率处输入阻抗值最大，但偏离中心频率时输入阻抗值却逐渐减小，输入电抗的变化曲线则刚好相反.计算时间比较数据见表5.

从表5中数据可以看出，在2种半径不同且分段数相同的条件下，本文算法比传统矩量法的计算时间短，2种小波算法DB6与Coif2之间Coif2小波在本算例中更具有优势.从而说明了本文算法在分析阻抗值中的高效性.总之，应用本文小波方法将大大提高计算效率.从而实现了求解线天线的高效性与有效性.

4 结语

本文从算法机理、计算成本、结果精度等方面，对用于分析半波振子天线辐射特性的小波矩量法与传统矩量法2种积分方程方法进行了比较研究.由于基于具有单点积分特性的4阶Coifleit小波和6阶Daubechies小波的方法计算阻抗元素时，数值结果表明，小波矩量法与传统矩量法相比为一高效算法，传统矩量法对于输入阻抗的精确值偏差较大，而用小波矩量法计算的输入阻抗值与实际阻抗值误差几乎没有；采用小波矩量法所得的方向图及电流分布均与传统矩量法吻合较好，但成本需求均低于传统矩量法，因此实现了线天线小波矩量法的快速分析与计算.在求解大型矩阵时，应用本文小波方法将大大提高计算效率，为工程界提供了一种切实可行的有效算法.

参考文献:

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［4］WAGNER R L,CHEWW C.A study of wavelets for the solution of electromagnetic integral equations［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1995,41(3): 802 - 810.

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［6］钟秋平，丁宣浩，韦晓静.双正交样条小波PetrvGalerlin法在静电场的应用［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2010,19(6):423-427.

［7］程艳斌，何官兴，唐润生.倾斜面上直射辐射计算方法的探讨［J］.云南师范大学学报：自然科学版，2009,29(2):49-53.

收稿日期:2010-11-26.

基金项目:国家自然科学基金（10871217；10861005）.

作者简介:魏丽英（1981-），女，硕士研究生.主要研究方向:小波分析及其应用.

通讯作者:丁宣浩（1957-），男，博士，教授.主要研究方向：算子与小波理论及其应用.