圆盘问题大揭秘

在圆周运动的动力学问题中，经常会遇见各种各样与转盘有关的圆周运动问题，笔者对此进行了概括、总结，以供参考.

一、 物体随盘一起转

图1

例1如图1所示.把质量为0.6 kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3 N，g=10 m/s2，求：

（1）转盘绕中心O以ω = 2 rad / s的角速度旋转，A相对转盘静止时，转盘对A摩擦力的大小、方向.

（2）为使物体A相对转盘静止，转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.

解（1）物体A随转盘做圆周运动的向心力由转盘给它的静摩擦提供，故：

Ff=mrω2=0.6×0.2×22 N=0.48 N，

方向沿半径指向圆心.

（2）当物体相对转盘将要滑动时，物体与转盘间的静摩擦达到最大值Ffm=3 N.设此时转盘的角速度为ωm，则：

所以转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围是

二、细线连物系于轴

例2如图2所示.水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）.物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍.求：

（1）当转盘的角速度ω1=

（2）当转盘的角速度ω2=

解设物体相对转盘将要滑动时，转盘的角速度为ω0，此时物体与转盘间的静摩擦力达到最大值Ffm=μmg，而绳子上张力仍为零.故

（1）由于ω1=μg2r

μgr，所以绳子上的张力为零.

（2）由于ω1=μg2r>ω0=μgr，所以有

FT2 +μmg=mr22，

得FT2=mrω22-μmg=mr×3μg2r-μmg=12μmg.

三、 弹簧连物系于轴

例3如图3所示.一质量为m的物块与弹簧相连，弹簧的另一端固定在圆盘的转轴上，圆盘静止时，物块到转轴的距离等于弹簧的原长L，已知弹簧的劲度系数为k，物块与转盘间的动摩擦因数为μ，当圆盘以某一角速度转动时，物块与转轴间的距离变为54L，求转盘转动的角速度多大？

解设转盘转动的角速度为ω，根据题意可知

14kL+μmg=m×54Lω2，

解得 ω=kL+4μmg5mL.

四、两物相连一置心

例4如图4所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，质量分别为M和m的两物体用一根长为l的轻绳连在一起（绳长小于圆盘的半径），两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ，若将M置于转轴位置处，两物体间的细绳刚好沿半径方向拉直，若使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘转动的角速度最大不得超过多少？

解设两物体将要相对转盘发生滑动时，细绳上的拉力为FT，对物体m有

根据以上两式可以看出，转盘转动的角速度ω越大，细绳上的拉力FT越大，物体M与转盘之间的静摩擦力Ff越大，当物体M与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时，两物体将相对转盘开始滑动，有

Ff=μMg.

由以上各式解得 ω=μ（M+m）gmL.

五、两物相连置同侧

例5如图5所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，质量分别为M和m的两物体用一根长为l的轻绳连在一起（绳长小于圆盘的半径），两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ，若将两物体间细绳拉直后，沿圆盘半径方向将他们置于转盘上，物体m距转轴为r，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘转动的角速度最大不得超过多少？

解对物体M有

FT+μMg=M（r+l）ω2，

对物体m有

Ff-FT=mrω2.

根据以上两式可以看出，转盘转动的角速度ω越大，细绳上的拉力FT越大，物体m与转盘之间的静摩擦力Ff越大，当物体m与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时，两物体将相对转盘开始滑动，有

Ff=μmg.

由以上三式解得 ω=μ（m+M）gmr+M（r+l）.

六、 两物相连置异侧

例6如图6所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，质量分别为M和m（M>m）的两物体，用一根长为l的轻绳连在一起（绳长小于圆盘的直径），两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ，若将两物体间细绳拉直后，沿圆盘直径方向将他们置于转轴两侧，物体m距转轴13l，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘转动的角速度最大不得超过多少？

解细绳上刚有拉力时，对物体M有

FT+μMg=23lMω2.

对物体m有

Ff+FT=13lmω2.

根据以上两式可以看出，转盘转动的角速度 ω越大，细绳上的拉力FT越大，物体m与转盘之间的静摩擦力Ff先逐渐减小变为零，然后沿半径向外逐渐增大，当物体m与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时，两物体将相对转盘开始滑动，这时物体m满足的方程为

FT-μmg=13lmω2.

根据第一和第三式解得

ω=3μ（m+M）g（2M-m）l

.

七、 两物相连线穿心

例7细绳一端系着质量M=8 kg的物体静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=2 kg的物体，M的中点与圆孔的距离r=0.2 m，已知M与水平面间的动摩擦因数为0.2，现使此物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g=10 m/s2）

解当物体M所受的摩擦力沿半径向里时，有mg+μMg=Mrω21.

解得

mg+μMgMr2=20+0.2×808×0.22=152rad/s.

当物体M所受的摩擦力沿半径向外时，有

mg-μMg=Mrω22.

解得

mg-μMgMr2=20-0.2×808×0.22=52rad/s.

故转台角速度ω的范围为

52 rad/s≤ω≤52 rad / s.

以上总结难免挂一漏万，如有不妥，请同行批评指正.