刍议数表问题

摘要:数表问题对学生各方面的能力提出了较高的要求,可以有效地考查学生的思维灵活性,敏捷性.在解题过程中,通过观察与分析可以把握数表所隐含的规律性,从而达到破解问题的目的.

关键词:数表;规律;观察

所谓“数表”就是满足一定条件的数,按一定规律排列成的一个表. 有关数表的问题往往具有题型灵活、解法巧妙、规律性强等特点. 以它为载体设计的新情境试题,通过研究其自身蕴涵的性质,来考查学生的数学思维,在新情境中提高学生吸收信息、处理信息、创新探究的学习能力,故已成为各级各类考试中的“新宠”. 下文将就数表问题进行分类例析.

求数表中蕴涵的数字特征及相互关系

1. 求数表中指定的“元素”

例1(2008年江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵(如图1). 按照以下排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.

图1

分析由题意可知,前n-1行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个,即为.

例2(2003年全国高考题)设{an｝是集合{2t+2s0≤s

(1)写出这个三角形数表的第四、五行各数;(2)求a100 .

图2

分析(1)第四行17、18、20、24;第五行33、34、36、40、48.

(2)因为此三角形数表中前n行共有个数,并且第n行的第一个数为2n+1. 则易知a100位于第14行第9个数,而此行第1个数为214+1,则a100=214+28=16 640.

点评解决这类问题,主要从所给的条件出发. 由问题的内涵、前后联系,经过观察、试验、分析、归纳、概括,猜想出一般规律,并且这类题型重在线索提取,往往不需证明.

2. 考查数表中各项的关系问题

例3(2004年上海)如图3,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3,求n的值.

图3

分析剖析观察图3我们能发现,第1行中数是C、C,第2行中数是C、C、C,第3行中数是C、C、C、C,…,则第n行中数是C、C、C、…、C. 设第n行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3,则C∶C=2∶3,解得n=34.

例4?摇(2007年湖南)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图4所示的0-1三角数表. 从上往下数,第1次全行的数都是1的是第1行, 第2次全行的数都是1的是第3行,…, 第n次全行的数都是1的是第 行,第61行中1的个数是 .

图4

分析设第n次全行的数都是1的是第m行,通过对杨辉三角及题意分析可知,此表中全行均为1的数在杨辉三角中应全为奇数,即此行中C,C,…,C,C全为奇数.由类推可得m=2n-1. 当m=63时,此行有64个1,故亦可推得第61行中,1的个数为32.

点评这种题型主要考查考生的知识迁移能力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力,要求考生从杨辉三角等数表或条件中看出其中的规律,然后再进行求解. 而考生的思维障碍往往在于类比推理能力不强,导致解题过程中无从着手或发生错误.

3. 考查数表中有关的求和问题

例5(2006年湖北)将杨辉三角中的每一个数C都换成,就得到一个如图5所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可看出+=,其中x= . 令an=++++…++,则an= .

图5

分析联想杨辉三角可发现在莱布尼茨三角形中,每个数都等于它脚下两数字之和,于是x=r+1.而==-+,所以an=+++•••+=1-++-++-++…+-+?摇?摇?摇=1--+. 故an=.

例6(2005年上海)用n个不同的实数a1,a2,…,an,可得到n!个不同的排列,以每个排列为一行写成一个n!行的数阵,对第i行ai1,ai2,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3,…,n!.

例如用1,2,3可得到如下数阵(如图6所示).

图6

由于数阵中每一列各数之和都是12,所以b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12= -24,那么在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+…+b120=.

分析由1,2,3三个数组成的数阵的计算,我们可以知道数阵每一列之和是相等的,设这个和数为S. 因为每一个数在数阵中某一列出现的次数是相等的,所以每一个数在一列出现的次数为=(n-1)!,故S=(n-1)!(a1+a2+…+an),而且b1+b2+…+bn!= -S+2S-3S+…+(-1)n•n•S. 故由1,2,3,4,5形成的数阵可知:b1+b2+…+b120=-360+2×360-3×360+4×360-5×360=-1 080.

点评由题目条件与解题过程可以看出,以上求和问题无非是转化成数列求和或者利用数阵所对应的矩阵进行列向量的变换运算而已. 另外,矩阵是从实际生活需要中产生的,并在实际的问题中有着广泛的应用,如果有可能的话,应让考生通过实际问题,初步体会矩阵应用的广泛性.

考察以数表为载体的综合问题

1. 求数表中的排列组合及概率问题

例7(2007年福建)如图7,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()

A. ?摇 ?摇?摇 B. ?摇 ?摇?摇 C. ?摇 ?摇?摇 D.

a11a12a13a21a22a23a31a32a33

图7

分析运用间接法,即先求出没有任何两个数位于同行或同列的概率:第一行选定一个数,则第二、三行总共有两种选法,则P==,故所求答案为C.

点评求解数表中的排列组合及概率问题时,可以采取“先前再后”的原则,即先确定某行或某列的元素,再确定后面相应行、列的元素;当然在求解时应注意相应的排列组合及概率知识的运用.

2. 考查由数表“生成”的其他数列问题

例8(2008年山东)将数列{an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表(如图8). 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn｝,b1=a1=1,Sn为数列{bn｝的前n项和,且满足=1(n≥2).

图8

(1)证明数列成等差数列,并求数列{bn｝的通项公式;

(2)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数. 当a81=-时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.

分析(1)证明:由已知,当n≥2时,=1. 又Sn=b1+b2+…+bn,所以=1?圯=1?圯-=. 又S1=b1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列. 由上可知=1+(n-1)=,则Sn=. 所以当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=-.

因此bn=1,?摇 n=1,-,n≥2.

(2)设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0. 因为1+2+…+12==78,所以表中第1行至第12行共含有数列{an｝的前78项,故a81在表中第13行第三列,因此a81=b13•q2=-. 又b13=-,所以q=2. 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S,则有S==-•=(1-2k)(k≥3).

点评对于由数表“生成”的其他数列问题,往往抓住并分析原数列的特征,利用两者的相互关系进行诠释.

综上所述,数表问题对学生的观察能力、归纳能力、探索能力、合情推理能力、创造能力及直觉思维提出了较高的要求,考查学生的思维灵活性,敏捷性.而通过观察,寻找出行与行之间、每行(列)中项与项之间的关系或其他规律是解题的关键,把握数表所隐含的规律性,综合运用观察、分析、归纳和猜想的思想方法,发现和破译问题的知求关系,从而使问题顺利获解.

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