从课本“探究问题”到一类中考“销售利润”问题

利用二次函数解决“商品销售”的一类问题中，经常会遇到如下的情形，商品销售的数量与商品的定价的高低有着密切的关系；受商家定价的影响，当商家定价涨价或降价时，销售数量随着定价的变化而变化，当然商家获得的利润也随着变化.如何定价才能获得最大利润是商家面临的一个重要问题.由于此类问题中涉及的量较多，且变化关联性较强，不少同学深感棘手，今天我们有幸聘请一次函数助阵帮忙，然后再利用二次函数的性质来敲定，便可以顺利获得问题的答案，使商家获得最大利润，赢得无限商机.请看下文.

一、课本习题探究

人教版九年级上册第22章“实际问题与二次函数”一节有如下一道“探究问题”

引例：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出500件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：解决本题的关键在于找到销售利润关于销售定价的二次函数关系，然后利用配方法求出其二次函数的最大值，即可获得问题的答案.我们知道：商品销售的总利润等于每件商品的利润×卖出的商品的件数.但是从题意中我们发现销售的商品的件数是不确定的，随着商品的定价的变化而变化，而且销售的商品的件数可以看作是商品的定价的一次函数（但应注意函数值（商品的件数）是正整数）.

对于涨价的情形见课本的探究.下面我们来研究降价的情形.

如果我们设每件商品的定价为x（40

设每天销售的总利润为w元，则w=（x-40）y=（x-40）（1500-20x）=-20x2+2300x-

60000=-20（x-2304）2+6125.

所以当x=2304=57.5时，

w最大值=6125，即将销售定价为57.5元时，获得最大的利润为6125元.

反思上述问题的解决过程可以发现学生探究“销售利润关于销售定价的二次函数关系”的难点在于：商品销售的件数是一个不确定的量，它与商品的定价有密切的关系，如何找到它们之间的关系成为解决问题的关键.造成这种困难的原因在于学生受思维方式的定势影响，对变化的量不敏感造成的，事实上只要我们抓住基础量――定价为60元时，可销售300件，然后再根据定价的变化（涨与降），探究出销售量的变化（减少与增加）情况，问题便可迎刃而解.因此根据题意确定：商品销售量（件数 ）与定价（ 元）之间的一次函数关系，是我们解决此类问题的第一个台阶；其次根据“商品销售的总利润= 每件商品的利润×卖出的商品的件数”二次函数的关系式借助二次函数的性质求出获得的最大利润才是我们的终极目标.

二、中考链接

例1 （2013年山东青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.

解析：（1）设销售单价x（元）时可以卖出y件，商品销售量（件数 ）与定价（ 元）之间的满足一次函数关系，所以可得y=250-10（x-25）=-10x+500.

而文具销售的总利润= 每件文具的利润×卖出的文具的件数，所以

w=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000.

（2）将（1）中函数关系式配方，得

w=-10（x-35）2+2250，所以，当x=35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.

（3）方案A：由题意可得：20

方案B：由题意得

x≥45

250-10（x-25）≥10

，解得：

45≤x≤49.

在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x=45时，w取最大值为1250元，

因为2000元>1250元，所以方案A的最大利润较高.

评注：同学们知道对于二次函数

y=ax2+bx+c，当a>0时，抛物线的顶点（函数图象的最低点）是二次函数取得最小值的位置，当a

例2（2012年常州）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件.根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件.现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）.在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）

解析：每件降价x元（x为正整数），销售的件数y与x之间一次函数关系为y=20+3x.

根据题意，商场每天的销售毛利润=每件的利润×销售的件数，即

w=（60-40-x）（20+3x）=-3x2+40x+400.

所以当

x=-b2a

=-402×（-3）

=623时，函数w取得最大值.

因为x为正整数，且

7-623

623-6.

所以当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为w=-3×72+40×7+400=533.

例3 （2013达州市）今年，6月12日为端午节.在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题.

图1

解析：（1）解答小华的问题：

若设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据小丽提供的信息，容易知道销售粽子的数量y与定价之间的一次函数关系为：

y=500-x-30.1

×10=500-100x+300=-100x+800.

再根据小华的信息可以列出如下的方程：（x-2）（-100x+800）=800

整理得： x2-10x+24=0，

解得：x1=4，x2=6.

又因为物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元），所以x2=6不合题意，舍去，故定价应为4元/个.

（2）解答小华的问题，我们既要注意自变量定价x的取值范围2

设每天利润为W元，定价为x元/个，得

W=（x-2）（500-x-30.1×10）=-100x2+1000x-1600=-100（x-5）2+900.

因为x≤5时W随x的增大而增大，且x≤4.8，

所以当x=4.8 时，W最大，W最大=-100×（4.8-5）2+900=896>800.

故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大

例4（2012年聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.（利润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）

=-2x2+136x-1800，

所以z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800.

（2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，

解这个方程得x1=25，x2=43.

所以，销售单价定为25元或43元，

图1

将z=-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元.

（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象（如图2所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32

元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，

所以当x=32时，每月制造成本最低.最低成本是18×（-2×32+100）=648（万元），

因此，所求每月最低制造成本为648万元.

[江苏省丰县单楼中学 （221700）]