Euler积分的探究与应用
时间：2022-09-30 08:39:53
摘 要：利用B函数和Γ函数的定义和一些性质， 方便计算某些三角函数积分和反常积分，用以说明euler函数的优越性。Γ函数和B函数最早由Euler引入，它作为一种特殊函数， 具备了丰富和优美的特征， 在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着重要的作用。本文通过一些实例， 说明它的一些应用，对比出其优势，旨在抛砖引玉。
关键词：Euler积分；Γ函数；B函数
一、Euler积分[1]
含参量积分Γ（s）=∫xs-1 e-xdx（s>
0）。
B（p，q）=∫xp-1 （1-x）q-1dx（p>
0，q>0）。
在应用中经常出现，统称为Euler积分，分别称为Γ-函数与B-函数。
1.Γ-函数
（1）Γ（s）在定义域s>0内连续且可导。
（2）递推公式 Γ（s=1）=sΓ（s）=
Γ（s）=（s-1）（s-2）…（s-n）Γ（s-n），
n
∫e-xdx=1。
Γ（n+1）=n！
由于Γ（s）=―以及
Γ（1）=1，所以limΓ（s）=+∞。
（3）余元公式[2]。Γ（p）Γ（1-p）=
―（0
（4）Γ（s）的其他形式：令x= y2=Γ（s）=2∫y2s-1e-y dy（s>0），同样可以推出Γ（―）=√π。
令x=py =Γ（s）=∫ xs-1e-xdx= p∫ xs-1e-pydy（s>0，p>0）。
（5）倍乘公式 Γ（2s）=22s-1π-―Γ（s）Γ（s+1），证明略。
2.B-函数
（1）B（p，q）在定义域p>0， q>0内连续。
（2）对称性B（p，q）=B（q，p），作变换x=1-t就得到 B（p，q）。
（3）递推公式。
B（p，q-1）=B（p， q-1）―
B（p，q）=B（p-1，q）―
B（p-1，q-1）=―
B（p-1，q-1）
（4）B（p，q）的其他形式：①作
变量代换x=cos2φ就得B（p，q）=
2∫sin2q-1φcos2p-1φdφ （1.2.1），
B（―，―）=π。②作变量代换x= ―，得B（p，q）= ∫ ―dt= ∫―dt+∫ ―dt，作变量代换x=―，于是B（p，q）=∫―dt。
3.Γ-函数与B-函数的关系
（1）B（p，q）=―， p>0，q>0。
（2）当p+q=1，B（p，1-p）=Γ（p）Γ（1-p）=―，0
（3）几个重要公式（Legendre公式）
Γ（s）Γ（s+―）=― Γ（2s）
（Stirling公式）Gamma函数有如下的渐进估计：
Γ（s+1）=√2πs（―）se―，s>0，
证明[3]略。由此公式可以推出物理学中一个重要公式：lnn！～nlnn-n。
二、应用
1.用Euler积分解决三角函数积分
把（1.2.1）中的2p和2q分别改写成p+1和q+1得：
∫sin2q-1φcos2p-1φdφ=∫（cosφ）p
（sinφ）qdφ=―
由此可知
∫（sinφ）ndφ=∫（cosφ）ndφ=
―B（―，―）=―
―・―，n=2m
== m=1，2，3，……
―，n=2m+1
同样可以用分部积分求出递推公式[4]，但足见其远不如用Euler积分方便。
例 1：计算积分I=∫sin6xcos4xdx。
解：利用Beta函数的性质及Gamma
函数的递推公式得：
I=∫sin6xcos4xdx=―B（―，―）=―
―=―[―・―√π]
[―・―・―√π]=―
例2 ：利用余元公式计算 Γ（―）。
解：Γ2（―）=Γ（―）Γ（1-―） =
―=π，=Γ（―）=√π。
2.用Euler积分解决反常积分
例3：求积分∫―。
解：令t=x6，利用余元公式有
I=― ∫―dt=―∫―dt=―B（―，―）=―Γ（―）Γ（1-―）=―・―=―
例4：计算I=∫xne-ax.其中n为正整数，a为正的常数。
解法1（略）
解法2 令ax=t，I=∫―e-t・―=―Γ（n+1）=―n！
对比可发现用Euler积分的方便。
例5：计算概率积分I=∫e-xdx。
解法1（略）用重积分计算
解法2 利用Γ（s）的变形公式，Γ（s）=2∫y2s-1e-ydy，
当s=―时由例2得Γ（―）=√π。
因此I=∫e-xdx=―。
三、 结语
由以上例子可以看出，Euler积分简单易学，灵活应用可以使简化解题思路，降低解题难度 ，节省解题时间，提高解题正确率，而且有些例子不用Γ函数和B函数，则计算过程非常困难。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2004：190.
[2][3]吴崇试.数学物理方法[M].北京：北京大学出版社，2000：180.
[4]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2004：227.
（作者单位：亳州职业技术学院）
