时间：2022-05-06 12:23:33
【摘要】 本文给出了一个收敛到Euler常数 的超越数数列，还给出一个用调和级数片段和计算Euler常数 近似值的公式。
【关键词】 收敛数列 Euler常数 超越数 调和级数 片段和
根据微积分知识，我们知道，Euler常数γ=0.5772156649…，但至今人们不知道γ是否是无理数. Euler常数γ与调和级数Σ ∞ k=1 1 k 的部分和紧密联系。作者在文献[1]中证明了γ有如下的定义式（e表示自然对数的底 ，符号 表示不超过x的最大整数）
γ= lim ∞ （1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k）
=1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k+ θk [ek] ，……………（1）
其中k∈N+，0
在本文中，作者给出 的另一个定义式，从这个定义式中可得到这样的结论，即可以用一个超越数数列收敛到Euler常数γ.
考虑调和级数Σ ∞ k=1 1 k 的分段和. 当m≤n时，我们引入记号
H（m，n）=Σ ∞ k=1 1 k ，
这样利用微积分知识，易得
γ= H（1，n-1）-lnn+ θn n ，其中 1 2
又假设对于k∈N+，rk满足
H（1，rk-2）
那么我们有
以及
k = H（1， rk-2）+ θk rk-1 ，0
所以我们得到如下Euler常数γ的一个定义式
γ=H（1， rk-1）-lnrk+ θk rk
=k-lnrk+ θ2 rk-1 + θ1 rk ， 1 2
= k-lnrk+ θ3 rk-1 ， 1 2
根据文献[2]，当rk是大于1的整数时， lnrk是超越数，并且由上述推理过程可知， 当rk满足（2）式时， 的整数部分等于k-1，小数部分与γ的和近似等于1（当∞时）.也就是说，有
γ=1-{lnrk}+ θ3 rk-1 1 2
其中{lnrk}表示lnrk的小数部分
这样我们得到一个超越数数列{ak}，其通项是ak=1-{lnrk}，k=1，2，3，…，这个数列收敛到Euler常数γ.
另外，结合（1）和（3）两式，我们还可得到用调和级数Σ ∞ k=1 1 k 的片段和计算Euler常数γ的近似值的公式，即有如下等式
γ= lim ∞ （ 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +… 1 [ek]-1 ，
= 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +… 1 [ek]-1 + θk rk-1 ，………（4）
其中rk满足（2）式，0
用初等数论知识可以得到一个结论，就是（1）和（4）两式中的主项化为小数后都是混循环小数，并且当∞时，不循环的位数uk∞.限于篇幅，证明从略.
猜想 Euler常数γ是一个无理数，也是一个超越数.
参考文献
[1] 尹必华.一个收敛于Euler常数的有理数列.现代教育信息.北京：世界科学教育出版社.2012（6）：139-140.
[2] 朱尧辰，徐广善.超越数引论.北京：科学出版社.2003.