轻轻松松求极限

摘要：极限作为一种解题思想和研究工具，是区别常量数学与变量数学的主要标志，是研究函数的基本方法，是学习微积分的基础和工具。本文笔者对函数极限的几种基本求法进行了归纳总结，做到轻轻松松求极限。

关键词：极限 洛比达法则 运算法则

一、函数极限的定义

1.x∞时函数的极限

（1）■f（x）=A（2）■f（x）=A（3）■f（x）=A

定理1：■f（x）=A？圳■f（x）=■f（x）=A

2.xx0时函数的极限

（1）■f（x）=A（2）■f（x）=A（右极限）（3）■f（x）=A（左极限）

定理2：■f（x）=A？圳■f（x）=■f（x）=A

二、极限的运算法则

定理3：若limf（x）=A，limg（x）=B则

（1）limf（x）±g（x）=lim f（x）+lim g（x）=A+B

（2）limf（x）・g（x）=lim f（x）・lim g（x）=A・B

（3）当lim g（x）=B≠0时，lim■=■=■

注意：利用运算法则求极限的前提是各自极限都存在。

定理4：设函数f（x）、g（x）满足：

（1）■f（x）=0，■ g（x）=0

（2）在点xo的某空心临域内，f′（x）和g′（x）存在，且g′（x）≠0；

（3）■■存在或为无穷大，则极限■■存在或为无穷大，且■■=■■

利用此定理求■型未定式的值的方法称为洛必达法则。当然洛必达法则也可解决■型未定式的极限问题，在此不一一列举这些定理。

三、函数极限的求法

一些简单函数的极限可以利用定义、性质来求，然而这是很有限的。在此，我将对求极限的各种方法进行归纳和总结，主要思路是：先看极限过程，再判断极限类型，找出具体的解决办法。这样能找到最简捷、最准确的方法，节省计算时间。

1.xx0

通过过程判断所求函数在该点是否有意义

有■f（x）=f（x■）否 利用后面两种方种

2.x0

首先考虑等价无穷小代换法。x0时常用的等价无穷小有：

sin x～x；arcsin x～x；tan x～x；arctanx～x；ex-1～x；

ln（1+x）～x；■-1～■x；1-cos x～■x■

其次考虑“■”型，方法是：

（1）因式分解（2）分子、分母有理化（3）洛比达法则

3.xx0（x≠0）

一般为“■”型，解决办法为：

（1）因式分解（2）分子、分母有理化（3）等价无穷小灵活应用（4）洛比达法则

（1）所求函数中含有sin x、sin（ ）

考虑重要极限■■=1。抓住该重要极限的本质形式：只要（ ）0，则，即■■=1，即通过过程判断出（ ）0，并恒等转化为重要极限的形式就可以轻松求出结果。

（2）所求函数为1+（ ）■型，其中（ ）、均为x的函数

考虑重要极限■（1+■x）■=e。该重要极限的本质是：lim（1+）■=e，其中为无穷小量。只要通过过程化出lim（1+无穷小）■问题就迎刃而解了。

四、结论

求极限对于初学高等数学的人有一定难度，本文笔者对求极限的几种基本方法进行了归纳总结。这几种基本方法是真正学懂极限的好帮手。

（责编 高伟）