论数形结合思想对提高初中学生解题能力的作用

摘 要：数形结合的解题思想，能够帮助学生形成分析、解决问题的能力，有助于培养学生的画图能力，可以指导初中学生解决代数类、几何类、概率和统计类的题型。

关键词：数形结合；解题能力；初中学生

数形结合这种技巧，主要是针对数字和图形之间所存在的对应关系，然后把数字和图形进行互相转化，以此来解决一些数学问题。在中学阶段，数形结合解题思想的应用是广泛的。所以，作为中学数学教师，在日常的教学工作中，应该努力促使学生更好地运用数形结合的思想解题。

一、培养数形结合的解题思想，形成学生分析解决问题的能力

中学阶段的学生接触图形比较多，在日常数学学习的过程中，甚至是普通的生活里面，图形的素材随处可见。但是，如果要把图形作为一种解题的思路和突破口，并且和数字结合到一起，就需要中学数学教师的合理引导。因此，数学教师应该在日常数学教学过程中，有意识地引导、培养学生把数字及图形合理地联系起来解决问题。比如，可以让学生把座位当成坐标，把经过的路径当作直线等。这些生活中的经验可以让学生更好地运用数学思维解决问题，有助于提高学生分析及解决问题的能力。

二、培养数形结合的解题思想，有助于培养学生的画图能力

要更好地运用数形结合的解题思想，中学生还应该具备一定的几何绘图能力。这种画图的能力和美术上的画图能力是截然不同的。举个简单的例子，如非常基础的路程问题，学生在小学阶段就已经掌握，我们通常会鼓励学生进行线段图的对比和绘制（如图1），这其实就是一种数形结合思想的雏形。

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图1

在数学思维的过程中，画图对于学生进行题目的分析是非常有帮助的。图1当中，路程问题的数字是不直观的，而反映到线段图当中，我们就可以清晰地看出不同的长度之间存在着长与短的差异，可以更为直接地表达出题目当中的问题和关键所在。

当然，画图的帮助作用前提是学生能够绘制出准确的图形。比如上面的这一幅例图，一旦没有确定好相关的比例以及单位长度，就容易出现长短不一，表现不出路程以及距离的长短问题。

三、数形结合解题思想的应用

（一）运用数形结合的解题思想，解决代数类的问题

在代数的题目当中，数形结合的解题思想运用得还是比较多的。代数类的题目是从方程延伸出来的一种题目，小学阶段的线段图到了初中阶段就演化成为坐标系以及数轴，通过坐标系和数轴对相关方程进行定位和画图，可以更好地让学生对相关的代数知识形成更为直观的印象，而且也容易激发起学生对于代数问题的探究兴趣。

例题：已知正数a，b，c满足b>a+c，那么关于方程ax2+bx+c=0的根的情况是：（ ）

A.有两个实根 B.有两个等根

C.无实根 D.不确定

我们就可以根据方程的情况绘制出相关的图形。要判断出该方程的根，只要弄清楚该方程对应的二次函数图形和x轴之间有多少个交点就行了。所以，能否根据题意画出准确的抛物线草图是该题目的解题关键。

如图2所示，由于a、b、c是已知的正数，并且已经满足了b＞a+c的条件，所以该方程应该是一个开口向上的抛物线，并且根据相关的条件，代入相关的值之后，我们可以得出这样的一个开口向上的抛物线草图，并且得知了其与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，由此可以知道，方程ax2+bx+c=0是有两个实根的。

初中的代数题目中，尤其是方程组的题目，都可以经过图形转化，使方程式的表达成为图形的表达，进而观察草图中图形的具体走向，由此判断出这个方程式或者方程组的正确的解。

这种数形结合互相转化的思路，不仅仅让学生提高了解题的速度，而且通过图形和数字的转化，使数学语言形象化、具体化，更有利于学生对于该类题型的记忆及理解。

（二）运用数形结合的解题思想，解决几何类的问题

中学阶段的几何题型都是离不开图形的辅助，学生需要运用数形转化的思路，解决不同情况下所出现的几何问题。

例题：已知AB大于AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC.求证：∠ADC+∠ABC=180°.

解答该题时要绘制辅助线，可以考虑从C点出发，向∠BAD的两个边作垂线，证明∠ABC与∠CDF相等，进而证明出∠ADC和∠ABC角度数之和为180°.

初中生的空间想象能力还不够强，不可能仅仅依靠演绎推理解决几何问题。初中数学教师在教授解题技巧时，要充分挖掘几何题中的数形结合思想，由此为学生打开新的思路。

（三）运用数形结合的解题思想，解决概率和统计类的题型

初中阶段学生所接触的概率和统计类的题型并不困难，日常接触的很多统计报告一类的文件都显示出图表、图形与统计数字之间的密切关系。所以，教学之中，要特别注意概率和统计类的题型与数形结合思想的衔接。在原始数据和统计的总样本较多或者种类较乱的情况下，单凭学生进行演绎推理，容易出现混乱，进而导致题目的错解。但是如果运用数形结合的思路解题，通过构建一些比较简单的图形，就能使出现的各种情况一目了然，解题就容易了。

例题：小明准备了一个袋子，袋子的里面装着三个乒乓球，一个是黄色的，另外两个是白色的。如果小明从这个袋子里面摸出一个球，然后再把这个球放回去，接着再摸出一个球，请问在这两次摸球过程中都摸得到白球的概率是多少？

很显然，这道概率题用简单的演绎推理也能解决，但是这个过程较为耗时，在解题时间比较紧张的情况下就不适用了。通过列出图形来解决，更加一目了然，如图4。

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图4

解题过程中，利用图4这样的结构，可以很清晰地看出该事件发生的概率。

可见，数形结合的解题思想对于拓展初中学生的解题思路，提高学生的形象思维和空间转换能力都有比较好的帮助。所以，教师在日常教学中，应该注意对学生数形结合思想的培养。

参考文献：

[1]林腾阳.初中数学数形结合思想研究[J].动动画世界·教育技术研究，2012，（01）.

[2]朱建忠.简议数形结合思想在初中数学中的运用[J].教师，2011，（27）.