系统在标准型状态空间模型下状态轨迹和输出的研究

摘 要二阶连续系统G（s）的能控标准型ΣC（AC，BC，CC）和Jordan标准型ΣJ（J，BJ，CJ）可以用于分析系统在特定控制量输入和初始条件下的时域行为。在同样的初始条件和控制信号作用下，由于ΣC≠ΣJ，因此状态XC（τ）≠XJ （τ），但由于ΣC（AC，BC，CC）和ΣJ（J，BJ，CJ）对应于同一个传函G（s），因此能控标准型ΣC和Jordan标准型ΣJ对应的输出量YC（t）和YJ（t）相同。

【关键词】系统 标准型 状态空间模型 状态轨迹 输出

对于二阶连续系统唯一确定的传递函数G（s），由于状态XC （τ）≠XJ （τ），系统存在两个不同形式的时域模型――能控标准型ΣC （AC，BC，CC）和Jordan标准型ΣJ（J，BJ，CJ）。

1 二阶连续系统能控标准型ΣC和Jordan标准型ΣJ的建立

系统初始时刻t0=0，终了时刻tf=t，当时间变量τ∈[0，t]时，对ΣC和ΣJ施加单位阶跃输入u（τ）=1，由于ΣC≠ΣJ，会导致两种模型状态终值不同（XC（t）≠XJ（t））。

（1）

（1）此时选择系统一组完全能控的状态变量XC（τ），建立ΣC （AC，BC，CC）如下。

（2）

（2）选取系统状态变量的拉普拉斯变换XJ1（s）和XJ2（s），建立ΣJ（J，BJ，CJ）如下。

（3）

2 单位阶跃输入下能控标准型ΣC （AC，BC，CC）的状态轨迹

当τ∈[0，t]时，令系统ΣC的初始状态XC（0）=[0 1]T，终了状态为XC（t），那么此时XC （t）=XCfree（t） +XCforce（t）。

（1）系统能控标准型ΣC（AC，BC，CC）状态转移矩阵eAct的求取。

（4）

（2）求取单位阶跃输入下能控标准型ΣC （AC，BC，CC）的状态轨迹XC（t）。

（5）

（3）求取单位阶跃输入下能控标准型ΣC （AC，BC，CC）的输出YC（t）。

（6）

3 单位阶跃输入下Jordan标准型ΣJ （J，BJ，CJ）的状态轨迹

当τ∈[0，t]时，令系统ΣJ的初始状态XJ（0）=[0 1]T，终了状态为XJ（t），那么此时XJ（t）=XJfree（t） +XJforce（t）。

（1）系统Jordan标准型ΣJ（J，BJ，CJ）状态转移矩阵eJt的求取。

（7）

（2）求取单位阶跃输入下Jordan标准型ΣJ（J，BJ，CJ）的状态轨迹XJ（t）。

（8）

（3）求取单位阶跃输入下Jordan标准型ΣJ（J，BJ，CJ）的输出YJ（t）。

（9）

4 结论

对于二阶连续系统G（s），ΣC（AC，BC，CC）和ΣJ（J，BJ，CJ）在同样的初始条件和控制信号作用下，虽然状态XC（t）≠XJ（t），但由于ΣC （AC，BC，CC）和ΣJ（J，BJ，CJ）对应于同一个传函G（s），因此两种标准型ΣC和ΣJ对应的输出YC（t）和YJ（t）相同。

参考文献

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