基于“问题链”的数学探究式教学

【摘要】问题是数学的心脏，由逐渐深化、层层递进的、具有内在联系的问题联结起来形成的“问题链”能加强知识之间的内在联系，促进学科内部知识的综合.在探究式的教学过程中，学生在教师的指导下，对所学的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流.基于“问题链”的数学探究式教学中，教师以所设计的“问题链”为主线，在“问题链”的各个问题中详略得当地展开探究式教学，引导学生主动、自主地进行思考、交流、合作与探究.

【关键词】问题链；探究式教学

1“问题链”概述

问题是在给定的信息与要达到的目标之间存在障碍需要加以克服的情境，其中，给定的信息、目标和障碍是问题的三要素，问题是数学的心脏，数学问题是指“以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题”.[1]在数学问题中，把那些逐渐深化、层层递进的，具有内在联系的问题联结起来就形成了“问题链”，“问题链”是教师为了实现教学目标，针对教学过程中学生可能会碰到的困惑疑难点，将教材知识转化为层次分明、相互关联的一系列的教学问题.

提问是课堂教学中的基本环节和基本策略，如果教师提出的问题是零散的，没有条理性和逻辑性的，就会降低课堂提问的效率.数学是一门抽象性、严谨性很强的学科，高中生处于经验型为主的抽象思维向理论型的抽象思维转变，并且抽象逻辑思维占主导地位的阶段.以“问题链”贯穿整堂高中数学课，以教学目标为出发点和落脚点，围绕一堂课的教学重、难点设计一连串的数学问题，学生数学思维的深刻性、灵活性和批判性能得到锻炼，“问题链”中问题的解决能让学生更好地掌握知识点，理解知识点与知识点之间的内在联系，加强学科内部知识的综合.

“问题链”中的数学问题应该具有以下特征：

问题要有价值.有价值的数学问题是在学生认知水平和已有经验的基础上，能吸引学生主动参与一系列实践操作和思维活动，在寻找适当解决方法的过程中使认知结构不断完善、数学能力不断发展的有趣的数学问题[2].有价值的问题具有启发性，能引导学生更深入地思考与探究知识之间的联系，促使学生将已有的知识与要学习的新知识联系起来.

问题要难度适中.问题不能太容易，学生不能从没有挑战性的问题中获益；问题也不能太难，否则会削弱学生的自信心和积极性.最适当的难度应该符合维果斯基的最近发展区规律，最近发展区是学生现有水平与通过努力，在教师的指导下可以达到的最高水平之间的差距，难度在最近发展区中最有利于促进学生的学习.这种难度的问题能够激发学生的好奇心和求知欲，学生需要经过一番努力才能解决，又不至于能够轻而易举地解决.

问题要环环相扣.一个“问题链”贯穿一堂数学课，那么这个“问题链”应该包含一堂课中所有重要的知识点.依据循序渐进的教学原则，“问题链”中的各个问题应该相互联系、环环相扣、层层递进，学生才能更好地学习、把握重难点.没有内在联系，把问题拼凑在一起的课堂提问方式达不到预期的效果.课堂问题以“问题链”的形式呈现，各个问题之间有梯度，才能使学生明确方向，达到教学目标.

2数学探究式教学中的“问题链”

2.1数学探究式教学

国内学者对于数学探究式教学涵义的界定，可以分为以下几类：一是以“数学问题”作为中心词来界定，如数学探究式教学就是以探究数学问题为主的教学；二是以数学教学产生的结果来界定，如数学探究式教学就是教师通过各种措施和途径，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认识活动凸现出来，使学生数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、解决问题的过程的一种教学方法；三是根据教学过程的探究性特征来界定，如数学探究式教学是指在教师的指导下，围绕某一课题，学生运用探究的方法主动获取数学知识，独立自主地解决数学问题、发展数学能力的一种教学方法；四是以“目标”为价值取向的界定，认为探究式教学以培养学生具有不断追求卓越的态度和提出问题、解决问题的能力为基本目标[3].可见，在探究式的教学过程中，学生在教师的指导下，对所学的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，从而较好地达到教学目标.探究式的教学模式不仅可以比较深入地理解、掌握知识和技能，而且有利于创新思维与创新能力的形成与发展，学生的主体地位得到较充分的体现.

无论是以哪一种方式来界定探究式教学，都离不开问题的探究与分析.问题是探究式教学的载体与核心，探究式学习本质上是一种以问题为依托的学习，使学生通过主动探究解决问题的过程[4].因此，一堂课中探究式教学的效果如何很大程度上取决于问题的选取.如果教师在备课时把教学环节的各个部分设计成环环相扣的“问题链”，科学、合理地设计“问题链”中的每一个问题，设计基于“问题链”的探究式教学模式，而不是以单个问题为载体的探究，学生就会有明确的探究方向，不会出现探究流于形式，探究式教学模式太过耗时的情形.

2.2数学探究式教学中“问题链”的设计

基于“问题链”的数学探究式教学，是指教师以所设计的“问题链”为主线，在“问题链”的各个问题中详略得当地展开探究式教学，引导学生主动、自主地进行思考、交流、合作与探究.在“问题链”教学法中，一个个小问题把知识点连接起来，一条“问题链”就是一条知识线[5].在设计数学探究式教学中的“问题链”之前，教师要做好充分的准备工作.首先，教师要仔细研读最新的数学课程标准，数学课程标准是以纲要的形式编订的，有关数学学科教学内容的指导性文件，它是教材编写、教学、评估与考试命题的依据，规定了知识范围、深度及其结构、教学进度和教学方法上的基本要求，因此，教师在做与教学有关的任何准备工作时必须要遵循课程标准在各方面的要求.其次，教师要努力钻研教材，准确、完整、深刻地理解数学教材是每位数学教师必备的基本功，教师只有认真研读教材，挖掘教材知识中的思想方法，改变呈现方法，甚至重组教材内容，使得教材内容更易于课堂教学，从而设计更好的“问题链”让学生自主探索教学材料.最后，还要了解学情.既然问题难度的设置不应超越最近发展区的界限，那么，教师只有清楚学生当前已有的知识水平，才能把握学生在教师的指导下能达到的水平，才能更好地设置“问题链”中各个问题的难度.此外，学生的学习能力、非智力因素等都是教师应该了解清楚的.

一堂新课的基本流程主要包括导入、新知识的展开、巩固练习、课堂小结等环节，“问题链”中的问题分布在各个环节中，“问题链”作为知识线才能贯穿整堂课.在导入环节，应该以复习、类比、设置情境等方式来设计问题，目的在于激发学生的求知欲，尽快融入到课堂中来；在新知识展开的环节中，教师应该设疑，引导学生逐步获得新知；巩固练习环节同样可以以问题的形式来引导学生的注意；以提问的方式进行课堂小结有助于学生对新知识的理解与记忆.设计“问题链”是将教学内容问题化的过程，基于“问题链”的数学探究式教学还需要将问题探究化，数学探究式教学中“问题链”的设计应该力图在数学课堂教学中实现“问题链”与探究相结合，在“问题链”中进行探究性学习，在探究性学习中解决问题，才能促进学生新知识的获得，经历探究发现的完整过程，从而获得更好的教学效果.

数学探究式教学中的“问题链”只是静态地反映了教学过程中的关键性环节，设计的“问题链”应该保持一定的弹性，留有余地，不应过细.因为在教学的过程中，学生的思维不一定会完全顺着教师所设计的“问题链”发展，教师应该根据问题探究活动的变化发展，适时地，创造性地做出调整.

2.3数学探究式教学中设计“问题链”的案例

以下选取人教A版高中数学教材中的教学内容，设计两个基于“问题链”的数学探究式教学的基本流程.

案例1直线的倾斜角与斜率

问题1对于平面直角坐标系内的一条直线，它的几何位置由哪些条件确定？

（设计意图以问题的形式引导学生进入课堂，带领学生在平面直角坐标系内讨论直

线的几何要素，在课堂引入环节留给学生足够的探究空间.）

问题2我们知道两点能确定一条直线，一个点能确定一条直线吗？如果不能，需要加什么条件？

（设计意图引导学生在复习回顾的基础上探索新知，激发学生探究的兴趣.）

问题3怎样描述直线的倾斜程度？

（设计意图为引出本节课的新知识作铺垫.）

问题4什么是直线的倾斜角？它的定义是什么？范围是什么？

（设计意图让学生在讨论中得出倾斜角的概念，可激发兴趣，让学生有成就感.）

问题5还能找到其他可以表示直线倾斜程度的量吗？

（设计意图引导学生探究本节课堂中的另外一个描述直线倾斜程度的重要概念，斜率.）

问题6如何求斜率？

（设计意图将直线的倾斜程度与实数建立对应关系，让学生经历几何问题的代数化.）

问题7斜率与直线上两点的顺序有关吗？

（设计意图引导学生对斜率有更深刻的理解，以便灵活地运用斜率解决问题.）

问题8当直线与x轴平行或重合时，计算斜率公式还成立吗？

（设计意图引导学生发现斜率的特殊性，更全面地理解斜率.）

问题9当直线与y轴平行或重合时，公式还成立吗？

（设计意图引导学生发现斜率的特殊性，更全面地理解斜率.）

问题10斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度，两者之间有什么关系？

（设计意图让学生自主探索、相互交流斜率与倾斜角的关系，突破本节课的重、难点.）

问题11通过本节的学习，你学到了哪些知识？这些知识是从什么角度研究的？你又掌握了哪些学习数学的方法？

（设计意图小结本节课的知识，让学生感知研究数学问题的一般方法，将学生的思

维引向更高的层次.）

设计说明倾斜角和斜率对学生来说是新的概念，以“问题链”的形式逐步呈现新知识，采用师生对话的探究方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣，培养学生的思维能力，理解数学概念产生的合理性，也加深学生对新概念的理解.基于“问题链”进行探究式学习的过程具有交互性，主张教师是学生的合作者，这正是建构主义所倡导的核心理念.

案例2平面向量的数量积

问题1我们已经学习了平面向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

（设计意图引导学生回顾向量的加法、减法及数乘运算，为后面理解平面向量数量积运算结果的特殊性埋下伏笔.）

问题2我们是怎么引入向量的加法运算的？是按照怎样的顺序研究向量的加法运算？

（设计意图类比向量加法的教学方法与顺序，引导学生自主探究.）

问题3回忆一下，物理中“功”的计算公式，结合向量的学习你有什么想法？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表示？

（设计意图让学生了解向量数量积的物理背景，从而产生学习这种新运算的愿望与

热情，也有利于学生理解数量积的概念.）

问题4平面向量数量积的定义中涉及哪些量？它们有什么关系？

（设计意图带领学生深入地理解数量积的概念.）

问题5平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（设计意图使学生认识到数量积运算的结果与线性运算结果有着本质的区别，突出向量的夹角在数量积运算中的作用.）

问题6你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负吗？能等于零吗？

（设计意图引导学生进一步探讨向量的数量积的运算.）

问题7两个向量的夹角决定了它们的数量积的符号，那么，它们共线或相互垂直时，数量积有什么特殊性吗？

（设计意图引导学生探究两个向量夹角决定数量积符号的特殊性，更全面地理解向

量夹角对于它们的数量积符号的决定作用.）

问题8我们学习过实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

（设计意图使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律，体会类比的数学思想方法和猜想归纳的问题解决方法.）

问题9你能证明平面向量数量积的运算律吗？

（设计意图培养学生推理论证的能力，将知识获得与能力培养结合起来.）

问题10本节我们学习的主要内容是什么？我们应该怎样研究平面向量的数量积？

（设计意图小结本节课的知识，使学生对平面向量数量积有更全面的认识.）

设计说明平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要的运算，也是高中数学中的一个重要概念，在数学、物理等学科中的应用十分广泛.这个概念比较抽象，蕴含类比、数形结合等重要的数学思想方法，设计“问题链”引导学生主动探究能使学生更好地掌握本小节的内容，所设计的这些问题是有序、有效地进行教学的重要载体，学生也能够保持思维活跃，积极参与课堂活动.

3启示

探究式教学以学生为主体，让学生自觉、主动地探索知识，学生是教学过程中积极的探究者，教师帮助学生形成一种能够进行探究的情境，而不是提供现成的知识，这有利于调动学生的积极性，利于学生发展批判性、创造性.但是，探究式的教学模式如果使用得不恰当，会浪费时间，效率低，所以许多教师不习惯使用探究式教学法，灌输式的教学方法在中学数学课堂中仍然是常见的.或者，在比较极端的情况下，为了顺应课程标准所倡导的“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”[6]的理念，探究式教学会被滥用或变成一种作秀现象.设计“问题链”使得知识的主线贯穿于整堂探究式教学的课堂中，依次对“问题链”中那些相互联系、层层递进、与课堂内容紧密联系的小问题进行探究，探究式教学就不会浪费课堂时间，也不会流于形式.

基于“问题链”的数学探究式教学是一种教与学相互统一的过程，在此过程中，教师要对教材知识按照知识结构体系、人们发现和认识的过程、学生的认知发展规律进行重组整合，把数学知识循序渐进地融入进“问题链”中，而不是拼凑起来.此外，教师还应当鼓励学生以问题为起点进行数学探究学习，鼓励学生敢于提出问题，在合作探究中研究问题，在问题探究中经历发现数学知识和数学思想方法的过程，而不能一味追求情境性.学生在“问题链”探究式教学过程中，要主动进行深入的思考，主动探究知识以及知识之间的联系；要养成独立思考问题的好习惯；要善于表达在探究学习中碰到的问题，多与教师和同学交流，表达自己的观点与想法.总之，只有教师和学生都积极地参与其中，基于“问题链”的探究式教学才能取得预期的效果.

参考文献

[1]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1997

[2]胡典顺，曹文华，叶珂.设计有价值的数学问题[J].数学通讯，2015（7）：17-21

[3]张锐，毛耀忠，杨敏.数学探究式教学研究的回顾与反思[J].中小学教师培训，2011（9）：38-41

[4]刘家鸿.高中数学课堂中探究式教学法的应用[J].教学与管理，2008（7）：118-119

[5]赵玉玲.“问题链”教学法的探索与实践[J].现代教育，2012（5-6）：88-89

[6]普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003