试论物理教学中的数学

数学是描述物理规律简洁而精确的语言。数学对于物理而言不仅是一种计算工具，也是物理学的思维方法，只有系统地掌握物理中的数学方法，才能更好地理解物理概念和定律。物理高考对能力的要求概括为五个方面：理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学解决物理问题能力和实验能力。五种能力中的前三种能力最终都要落实在数学能力上，所以物理与数学有着密切的联系。数学在表述物理规律、推演物理过程、处理实验结果等方面都有重要的作用。然而，数学毕竟不是物理，它仅仅是研究物理的一种工具和方法，它与物理间存在着本质的区别。稍不留意，就会给我们学习物理惹来一些“祸”。现举例如下：

一、物理抽象与数学抽象不同

数学抽象是指由具体事物中抽取的纯粹的量或形，如数学上的点是没有面积的点，给人以“极小”的感觉。数学抽象是绝对的，而物理抽象也叫理想化模型，它并没有脱离具体的事物，仅仅忽略了某些次要的因素，如物理中的质点，是具有一定质量的物体，只是物体的线度与研究问题中有关距离相比较小时，就忽略其形状和大小，把物体看作质点了。有些学生受到数学中“点”的影响，就会错误地认为“不论什么情况下都可以把原子看成质点”；“地球太大，不可能看成质点”等等。

二、物理中的正、负与数学中的正、负不同

数学中的正、负只表示点在数轴上位于零点的哪一侧，其概念是较抽象的，它仅仅表示大小。而物理上的正、负都包含一定的内容。对于矢量，正、负则表示方向；对于标量则又有各种不同的情况，如温度、重力势能等的正、负是表示这些物理量相对于选定的标准量值的大小；而像距的正、负则表示是实像还是虚像；功的正、负则表示动能的增加还是减小等。由于受到数学的误导，在学生中便出现了“-3N的力小于1N的力”的笑话；以及遇到“初动量P1的大小是6kg.m/s，方向水平向右，末动量P2的大小是16kg.m/s，方向水平向左，求动量变化量P2-P1的大小”这类问题时，常常会得到10kg.m/s的错误答案。另外，初学者在解答匀减速直线运动的题目中，也常常忽视速度和加速度的正、负，导致答案错误。所有这些都是因为没有理解物理中的正、负与数学中的正、负的区别。

三、物理等式与数学等式的意义不同

在数学中的等式表示等号两边是两个完全等价的量，但是在物理中则不完全是。物理中的等式必须代表一定的物理意义或者物理规律。例如公式R=UI；p=mv；C=QU等等，表示等式右边的两个物理量的比值不变，且这个比值反映了一种物理特性。假如我们用数学的观点来认为“等式左边的物理量与右边的物理量成反比或者正比”，就会出错。

同样，我们也不能由玻意尔定律P1V1=P2V2和查理定律V1T1=V2T2，两边相除而得到：P1T1=P2T2，因为它们的适用条件不同，玻意尔定律适用于温度不变的情况，而查理定律适用于压强不变的情况，它们不可能同时成立。同样的道理，不同的表达式在数学上是一样的，但却具有不同的物理意义，例如：E=I（R+r）与IE=I2（R+r）表示的物理意义不同：前者表示电源电动势的概念；后者则表示电路中能量的转化。因此，我们列表达式时，一定要有物理意义。如写机械能守恒的表达式时，不能把12mv2=mgh写成12v2=gh，因为后者没有物理意义。类似的错误在学生作业和测验中常常出现。

四、方程的解在物理和数学上的合理性不同

根据物理规律列出方程求解时，从数学上得出的各个解却不一定都有物理意义，必须根据实际物理问题的要求决定取舍。

例1：在电源电压不变的情况下，为了使正常工作的电热器在单位时间内产生的热量增加一倍，下列措施可行的是：

A.剪去一半的电热丝

B.并联一根相同的电热丝

C.串联一根相同的电热丝

D.使电热丝两端的电压增大一倍

错误解答：根据Q=I2Rt=U2Rt可知，Q∞1R，因为U不变，所以要使“热量增加一倍”，就必须使电阻减为原来的一半，因此应该选择A、B。

此题陷入陷阱的原因是只注重了数学公式的推导，而忽略了每一根电阻丝都有额定功率这一隐含条件。电阻丝剪去一半，虽然从理论上满足了使热量增加一倍的要求，但由于此时电阻丝额定功率减小一半，其实际功率大于额定功率，因此电阻丝将被烧坏，故正确的答案只能选B.

五、物理图像与数学图像的不同

物理中直角坐标图象与数学的直角坐标图像相比具有一定的特殊性，其主要区别表现在以下几个方面：

其一，数学中两个数轴表示的是抽象的数，两个数轴上一个单位长度表示的数值大小必须相等；物理中数轴上的量则是具体的物理量，两个垂直的数轴一般表示两个相关而又不同的物理量。由于物理量不同，因此两个数轴不存在统一单位问题，两个数轴上一个单位长度表示的数值可以不相等。

例：物体A、B都静止在光滑的水平面上，它们的质量分别是mA和mB，用平行于水平面的力F分别拉物体A、B，得到加速度a和拉力F的关系图像分别如图中的A、B所示。已知直线A与横轴的夹角是45°，直线B与横轴的夹角是，请利用图像求出两个物体的质量mA和mB.

有的学生是这样做的：

实际上正确的答案应该是：mA=4/2=2kg，mB=4/1=4kg，造成错误的原因是照搬数学方法，没有考虑到由于两个数轴的单位长度所表示的数值大小不相等，导致在数学中斜率k等于tana的结论已经不成立！

其二，物理直角坐标系中，有时要研究的区域离原点较远，为了研究方便，避开非研究区域，放大研究区域，能够直观看出图象的变化规律，可以使坐标轴的起点不从零开始，这在数学中是不允许的。

例：在测电源的电动势和内阻的实验中，如果要求根据右图计算电源的内阻，很多初学者常常是这样计算的：

因为内阻的大小与直线斜率的大小相等，而直线的斜率k=3/2=1.5，所以r=1.5Ω.

但是，正确的答案应该是r=k=（31）/2=1Ω，原因也是受到数学的影响，没有考虑到两坐标轴的交点，纵轴的起点不是从零开始，而是从1V开始。

在物理学习中，虽然数学给我们带来不少麻烦，惹了不少“祸”。其实都不是数学的错，而是我们没有深刻理解物理概念和物理规律。为了避免出现差错，应该注意以下方面：物理定律用数学表达式时，要注意表达式的物理意义和适用条件；运用物理图象时要注意物理学科的特点；物理方程要注意实际情况对方程定义域和值域的限制；处理物理数据时要注意有效数字的作用。物理离不开数学，我们不能因为数学给我们闯了一点点“祸”而因噎废食。相反，我们要在不断的学习中，留心数学与物理的本质区别同时，要不断地努力提高把物理问题转化为数学问题的能力，以及综合运用数学正确、迅速地解答物理问题的能力。只有这样，才能真正地学好物理、应用好物理！