转化思想在立体几何中的应用

立体几何是高中阶段的重要内容，也是高考的必考内容。针对同学们在解立体几何题时常常遇到的困难：一是难以很清晰地想象出题目中给出的空间图形；二是难以很好的将题设的条件与所学知识合理整合并进行有效的逻辑推理；三是难以找到合理的运算方法，解题常半途而废。笔者给你支招，教你如何转化，以克敌制胜。

一、 利用“基本模型”，实现转化

【命题分析】正方体与长方体是立体几何中最常见的几何体，其包含了所有的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及特定的数量关系，有着立体几何中的“百宝箱”的美誉。出题者往往以它们为载体出题或题目中隐含着正方体、长方体模型。所以利用好正方体与长方体这两个“基本模型”进行转化，可使问题更直观、简单化。

【例1】已知a,b为异面直线，α是一个平面，则a,b在α上的射影有可能是

①两条平行线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是（写出所以正确结论的编号）.

解析题设中的条件比较抽象，若直接想象有难度，故考虑正方体模型.如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；A1D与AB1在平面ABCD上的射影互相垂直；A1D与BB1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点；③显然错误，故填①②④.

点拨正方体中包含了所有的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，故涉及到复杂的线、面的位置关系判定时，考虑正方体模型可使问题直观，简单化。

【例2】已知三棱锥PABC，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，则三棱锥PABC的体积为.

解析若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求解，但顶点到底面的高难以求出.考虑到该三棱锥的三对对棱两两相等，以及长方体的对面对角线相等，联想长方体模型.如图2,设PE=x,EB=y,EA=z，则由已知得：

x2+y2=100,

x2+z2=136,

y2+z2=164解得x=6,

y=8,

z=10,

从而知VPABC=VAEBGFPDC-VPAEB-VCABG-VBPDC-VAFPC=VAEBGFPDC-4VPAEB=160.

点拨正方体或长方体中可构造出一些特殊的三棱锥或四棱锥，如正四面体、三侧棱两两垂直的三棱锥等等，碰到这些问题时，利用正方体或长方体这两个“基本模型”，往往可使我们在思路上拨开云雾见晴天。

二、 利用“降维思维”，实现转化

【命题分析】解立体几何问题的一个基本原则就是空间问题平面化，三维的空间向二维的平面转化，即为“降维思想”。这里，也蕴含着丰富的数学问题，围绕这样的问题，命制高考数学试题，应当引起我们的高度重视。

【例3】如图3(1)，设正三棱锥SABC的底面边长为b，侧棱长为2b，E,H分别是SB,SC上的动点，求线段和AE+EH+HA的最小值.

解析如图3（2），在三棱锥SABC中处理困难，利用侧面展开图化归到平面图形中研究是处理这个问题的关键.从侧面展开图中可看出，当A,E,H,A1四点共线时，AE+EH+HA取得最小值.设∠ASB=θ，则易得sinθ2=b22b=14，sin32θ=sinθ+θ2=3sinθ2－4sin3θ2=1116，

所以AE+EH+HA的最小值为2•2b•sin32θ=114b.

点拨空间多面体、旋转体表面上两点间的最短距离问题，通常采用“降维思想”，转化到其侧面展开图上去研究。

【例4】在三棱锥PABC中，PA平面ABC，∠ABC=90°，∠ABP=30°，AB=BC，求异面直线AB与PC所成角的余弦值.

解析直线AB与PC分别在不同的两个平面ABP，APC中，我们无法去度量，故通过平移的方法进行转化，将分散在不同平面的直线转移到同一平面内，利用平面几何的知识解决处理.如图4，分别取线段PB,AC,BC,AB的中点D,E,F,G，

则DF∥PC,EF∥AB,DG∥AP，由题设可得EFDE.不妨设AB与PC所成角为θ，|AP|=a，计算可得：

|DE|=a，|EF|=32a，|DF|=72a，

所以cosθ=cos∠DFE=|EF||DF|=217.

点拨本题将异面直线所成的角的计算，转化为平面角的计算是解题的关键。

三、 利用“逆向思维”，巧作辅助平面，实现转化

【命题分析】垂直或平行的证明很好的考查了学生的逻辑推理能力和空间想象能力，另外，新课标中，由于文科只学立几初步，所以以垂直或平行为主的证明会是高考立体几何大题的热门考点。

【例5】如图5，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点.

（1） 求证：BD1∥平面C1DE；

（2） 试在棱CC1上求一点P，使得C1E平面A1B1P.

解析（1） 线面平行的转化途径是：线线平行线面平行，面面平行线面平行.若按思路一，如何在平面C1DE内找一直线与BD1平行是关键，利用逆向思维，把BD1∥平面C1DE作为条件，应用线面平行的性质定理找出所需直线，即过直线BD1作一平面与平面C1DE相交，交线即为所要找的直线；如图5（1）连接D1C交DC1于F，则平面CD1B与平面C1DE交于EF，因为点F是DC1的中点，点E是BC的中点，所以线段EF是CD1B的中位线，所以EF∥BD1，EF∥BD1,

EF面C1DE,

BD1面C1DE

BD1∥平面C1DE.

若按思路二，如何构造一平面与平面C1DE平行是关键，利用逆向思维，结合面面平行的判定定理，故只要过点B或点D1作一直线与平面C1DE，由该直线与BD1确定的平面即为所找平面.如图5（2）过点B作BF∥DE，交AD于点F，连接D1F.由点E是BC的中点，可知点F是AD的中点，所以EF

CD

C1D1，所以四边形FEC1D1是平行四边形，所以D1F∥C1E，易证D1F∥平面C1DE；由BF∥DE，易证BF∥平面C1DE，又D1F∩BF=F，所以平面D1FB∥平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE.

（2） （利用逆向思维，则C1EB1P）如图5（3）过点B1作B1PC1E（即P为中点），连接A1P，

又由正方体易证A1B1C1E，A1B1∩B1P=B1，

所以C1E平面A1B1P.

点拨平行或垂直的判定定理、性质定理的本质就是转化，比如：线线平行与线面平行的转化，线面垂直与线线垂直的转化等等；而如何找到所需的直线或平面则是关键，利用“逆向思维”，把结论作为条件和题设条件整合到一起分析，可帮我们更好地锁定目标（要找的直线或平面）。

四、 利用“割补法”或“等体积法”，实现转化

【命题分析】“化不规则为规则，化不熟悉为熟悉”是学生思维能力、数学能力的重要体现。围绕着这种能力的考查，可以命制出许多令人赏心悦目的数学试题。立体几何中，在求解几何体的体积时，对于无法直接应用体积公式或不是规则几何体时，往往采用“等体积法”或“割补法”进行转化。

【例6】如图6，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA1=AB=1，点O1,O分别是上、下底面的对角线的交点.

（1） 求证：A1O∥平面CB1D1；

（2） 求三棱锥OB1D1C的体积.

解析（1） 证明略.

（2） 若直接考虑VOB1D1C，点O到面B1D1C的距离相对复杂，故考虑等体积法，转化顶点.因为DD1平面ABCD，所以DD1CO；因为菱形ABCD，所以BDCO；又因为DD1∩BD=D，所以CO平面BB1D1D，所以点C到平面OB1D1的距离即为CO的长度，在菱形中，BC=1，∠BCD=60°，CO=32.

易知点O到直线B1D1的距离为DD1=1，

所以VOCB1D1=VCOB1D1=13•SOB1D1•CO=312.

点拨等体积法的关键在于找出易于求出几何体高的顶点，进行转化，另利用等体积法亦可求点到平面的距离。比如：该题可进一步求出点O到面B1D1C的距离。在CB1D1中，CB1=CD1=2,B1D1=1，SCB1D1=74，所以VOCB1D1=13•SCB1D1•h=712h。

又VOCB1D1=VCOB1D1，可解得h=217。

【例7】如图7，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB,EF=32,EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积是.

解析这是一个特殊的拟柱体，怎样将它的体积转化为我们熟悉的几何体来计算是关键，不妨先让线段EF沿直线EF动起来，使侧面BCF底面ABCD，再用割补法求解.

方法一（先割后补）过E作截面EMN底面ABCD，则V柱BCFMNE=12•3•2•32=92，V椎EAMND=13•3•32•2=3，

所以VABCDEF=92+3=152.

方法二（先补后割）延长FE到M，使EM=EF=32.连接AM,DM，则得直三棱柱BCFADM.

VBCFADM=12•3•2•3=9，

V锥EADM=13•12•3•2•32=32，

所以VABCDEF=9-32=152.

点拨割补法的关键是把不规则几何体或图形转化为规则几何体或图形。

牛刀小试

1． 已知PA、PB、PC两两垂直且PA=2，PB=3，PC=2，则过P、A、B、C四点的球的体积为.

2． 有一个各棱长都为a的正四棱锥，现用一个正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为.

3． 在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是.

4． 如图，等边ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE,BD=2AE,AEAB,M为AB的中点.

（1） 证明：CMDE;

（2） 在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.

【参考答案】

1． 以PA、PB、PC为过公共顶点的三条棱构造长方体模型，长方体的体对角线即为外接球的直径，易得V=92π.

2． 利用“降维思想”，把正四棱锥的侧面展开与底面共面，只要包装纸能包住展开图就能包住正四棱锥，易得正方形的最小边长为2+62a.

3． 利用割补思想，易得V=56.

4. （1） 因为BC=AC，M为AB的中点．所以CMAB，又因为平面ABC平面ABDE，平面ABC∩平面ABDE＝AB，CM平面ABC，

所以CM平面ABDE，

又因DE平面ABDE，所以CMDE.

（2） 当ANAC=13时，CD∥平面BEN．连接AD交BE于点K，连接KN，

因梯形ABDE中，BD∥AE，BD=2AE，

所以AKKD=AEBD=12，则AKAD=13.

又因为ANAC=13，所以KN∥CD.

又KN平面BEN，CD平面BEN，

所以CD∥平面BEN.

(作者:田秀权,江苏省海安县曲塘中学)