电势能究竟变不变?

问题 一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，两极板间有一正电荷（电荷量小）固定在P点，如图1所示。以E表示两板间的场强，U表示电容器两极板间的电压，W表示正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到图中虚线所示位置，那么（ ）。（1989年高考・全国卷）

A.U变小，E不变;

B.E变大，W变大;

C.U变小，W不变;

D.U不变，W不变。

参考答案 AC，即认为P点的正电荷电势能不变。其理由：题目指出P点处的正电荷电量小，这意味着在解题过程中无需考虑P点处的电荷对于极板上电荷分布的影响；当平行板电容器带电量恒定，在只改变极板间距的情况下，板间匀强电场场强不变；又由于P点跟零电势极板间的距离不变，根据电势差与电场强度的关系公式（U=Ed），可知P点跟零电势极板间的电势差不变，即P点的电势不变；再根据电势能等于电量与电势的乘积，即εP=qφP，所以电荷在P点的电势能不变。

然而，这样的结论却与功能关系不符。具体理由如下：

P点处的正电荷所具有的电势能，实际上是该正电荷与其它电荷组成的系统所具有的电势能。在上述问题中表现为它与上面正极板电荷组成的系统所具有的电势能、以及它与下面负极板电荷组成的系统所具有的电势能的总和。考虑P点处的正电荷所具有的电势能的改变，即只要考虑上述两个系统电势能改变的总和。而每一个系统的电势能的改变量跟这个系统内部相互作用的电场力做功的总和具有等量关系。具体来讲，如果系统内部相互作用的一对电场力做正功，则电势能减小，反之则电势能增加。下面分析上述两个系统的内部电场力做功：

先考虑两块带电极板分别与P点的正电荷之间的电场力。根据电场的叠加原理及题意，平行板电容器极板间的场强E是由正极板上的正电荷对应的场强和负极板上的负电荷对应的场强叠加而成的。根据对称性可知两极板的电荷分别对应的匀强电场场强大小为E2，方向向下，那么P点的正电荷分别与正、负极板间的电场力均为12qE。正极板下移的过程中（设下移距离为x），该板与P点的正电荷之间的内部电场力做了负功W1=-12qEx （正极板对P点的正电荷的作用力不做功，P点的正电荷对正极板的作用力做功-12qEx，所以说正极板与P点的正电荷之间相互作用的一对电场力做功总和为W1=-12qEx ），所以这个系统的电势能增加了12qEx；对于负极板来说，由于负极板和P点处的正电荷都没有运动，所以这个系统内部的电场力没有做功（W2=0），这个系统电势能没有改变。因此总的来讲，在上极板下移后，P点的正电荷的电势能增加了12qEx。上述推理也可以这样表述：电容器跟P点处的点电荷之间相互作用的电场力做功为-12qEx，所以P点处的点电荷在电容器电场中的电势能增加了12qEx。

两种不同的解法得出不同的结论，究竟哪个结论正确？问题究竟出在哪里？

从公式εP=qφP出发，确定点电荷在初、末状态的电势能，末状态的电势能减去初状态的电势能即为电势能的变化。要使这样的过程正确，其前提是零电势点的位置是确定不变的。需要强调的是，这里所指的零电势点的位置应当是零电势点在电场中的位置，也就是相对于场源电荷的位置。举个例子：

在考虑由点电荷q、Q组成的系统的电势能（如图2所示）时，可以将Q看成场源电荷，考虑q在Q产生的电场中的电势能。现用两种不同的方式使这两个点电荷的距离增大l，第一次是保持Q的位置不变，将q沿着它们的连线朝远离Q的方向前进l，由原先的A点到达A′点（如图3所示）；第二次是保持q的位置不变，将Q沿着它们的连线朝远离q的方向前进l，由原先的B点到达B′点（如图4所示）。根据库仑定律可知，上述两个过程中两点电荷之间的电场力所做的功是一样的，所以由功能关系可知，两个过程中两点电荷组成的系统电势能的改变量相同。如果想通过公式εP=qφP来得出两个过程电势能改变量相同的结论，则必须认为图3中q在A′点的电势能等于图4中q在A点的电势能。这也就是说，如果我们在图2和图3中令B点的电势为零，则必须在图3中令B′点的电势能为零。这就是说，运用公式εP=qφP来讨论电势能变化的前提是零电势点在电场中的相对位置不变，也就是说零电势点的位置应当随着场源电荷的移动而移动。

在前面的题目中，带正电的上极板下移而接地的下极板不动，导致上极板正电荷所对应的电场中零电势位置相对于作为场源的极板正电荷的位置发生变化（将接地的负极板看作电势等于零），在这样的情况下运用公式εP=qφP来讨论电势能的变化就不正确了。虽然正极板的下移没有引起负极板对应的电场中零电势点相对于作为场源的负极板的位置的变化，但这只能说明可以用公式εP=qφP来讨论P点的正电荷在负极板电荷对应的电场中的电势能的变化（可以得出这个电势能没有变化，这与运用功能关系得出的结论一致），而P点的正电荷实际的电势能既包括它在正极板对应的电场中的电势能，又包括它在负极板对应电场中的电势能。运用公式εP=qφP求该电荷的电势能时应考虑到φP是正极板电荷对应电场的电势与负极板电荷对应电场的电势的代数和。显然参考解答是不对的。

纵上所述，题目的正确选项应该是A。

能量概念的意义在于能量的转化，在转化过程中“功”扮演十分重要的角色。功是能量转化的量度，这是物理学的基本观点之一。在零电势点相对位置改变的情况下由公式εP=qφP出发来讨论电势能的改变是没有意义的。

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