用几何画板绘制分子间相互作用力及分子势能

笔者发现,一些教材及教辅资料上绘制的分子间相互作用力示意图比较粗糙、随意,有失准确性.因此,笔者尝试利用《几何画板》来绘制分子间相互作用力示意图,同时通过调节变量,来实现局部放大的功能.

一、 理论分析

分子力不是万有引力,也并非简单的库仑力,它是由一个分子中所有电子和核子与另一个分子中所有电子和核子之间的复杂因素所产生的相互作用的总和,即分子力是一种电磁相互作用力.在有些问题中,我们可以在实验的基础上,采用简化模型来处理分子间的相互作用.假设分子间的作用力是有心力,力心就在分子的中心上,且力是呈球对称的,则力的大小常用如下半经验公式来表述:

f(r)=λrs-μrt(s> t) , ①

上式右边的第一项为斥力,第二项为引力;r是两分子中心之间的距离;λ、μ为两个大于零的比例系数,s由实验确定,μ由气体种类确定;s>t,一般s介于9~15之间,t介于4~7之间.(例如，对于非极性分子s ≈ 13，t ≈ 7 )

二、 绘图中的难点

对于某种气体分子,上式中λ、μ的具体数值较难查到.因此,若以r为横坐标,f(r)为纵坐标绘制分子力示意图就有诸多困难.

三、 难点的解决

以氧分子为例,取t=7,s=13,用f1(r)表示氧分子间的斥力,用f2(r)表示氧分子间的引力,则 f1(r)=λr13 f2(r)=-μr7 ②

当r=r0(r0为平衡距离)时,f(r0)=f1(r0)+f2(r0)=0.

用f0表示r=r0时,氧分子间引力和斥力的大小,则

f1(r0)=λr130=f0 f2(r0)=-μr70=-f0 可得λ=r130f0 μ=r70f0 ③

再将③式代入①、②式,经整理得到

f1(r)=rr0-13f0 f2(r)=-rr0-13f0rr0-13

f0-rr0-7f0 ④

如果我们以f为纵坐标(以f0为单位长度)，r为横坐标（以r0为单位长度）,就可以作出比较准确的示意图了.

四、 具体步骤

1. 打开几何画板.

2. 作两条线段r0（约6cm）,f0（约5cm）,并测量它们的距离.

3. 作一线段AB，并作AB间的点C(AC略大于r0)，测量点C和点A间的距离r.

4. 选择“度量”菜单下的“计算”命令，分别计算rr0-13f0,-rr0-7f0, rr0-13f0-rr0-7f0并分别标记为f1，f2和f.

5. 选择r及上面的计算结果，然后选择“变换”菜单下的“标记距离”命令.

6. 作点O，并将它按直角坐标平移（其中水平部分平移r，竖直部分平移标记的距离f1），得到点O′.

7. 选择点C，点O′ 然后选择“作图”菜单下的“轨迹” 命令.这样就可得到f1随r变化的图线.

8. 选择点O，并将它按直角坐标平移（其中水平部分平移r，竖直部分平移标记的距离f2），得到点O″，选择点C，点O″然后选择“作图”菜单下的“轨迹” 命令.可得到随r变化的图线.

9. 选择点O，并将它按直角坐标平移（其中水平部分平移r，坚直部分平移标记的距离f），得到点O，选择点C，点O然后选择“作图”菜单下的“轨迹” 命令.可得到f随r变化的图线.

10. 选择点O为坐标原点，r0为单位长度创建一个坐标系.

这样就可以得到如图1所示的分子间相互作用力示意图.仔细观察后就能发现,此图与一些中学物理教材及教辅资料上的示意图有着明显的差别（图2为人教版《物理3-1》中的示意图）

图1

分子间作用力与分子距离的关系

图2

五、 总结深化

1. 利用几何画板，通过将分子力适当变形，选择合适的单位长度，我们很容易地得到了较理想的分子力示意图.从图象可直观看出r0，分子力在r0处向内迅速变化，对固体来讲，体积很难变化，对气体来讲分子间距离约为10r0，分子力可忽略.

2. 我们也可以根据研究问题的需要,改变两坐标轴单位长度,并适当移动坐标系，这样能实现将图象局部放大，所示的局部放大示意图.（如图3）这样,我们就能更加有针对性、更加直观地分析分子间相互作用力的变化规律了.

3. 若以两分子相距无穷远时分子势能为零,则分子势能表达式为

Ep=rr0-12 f0r012-rr0-6f0r06

⑤

我们用同样的方法同一图上作出分子势能的图象.如图4所示的分子势能示意图.由图可直观看出：r=r0时，分子力为零，分子势能最小.

图3

图4