通过逻辑趣题学推理

【摘 要】杰出戏剧家莎士比亚在其著名喜剧《威尼斯商人》中有这样一个桥段，鲍西亚已故的父亲留有遗嘱，只有猜中金、银、铅三只匣子中哪个里面放着鲍西亚肖像的青年才能与之婚配，三只匣子中各刻有一句话且只有一句是真话：金匣子上刻有“肖像不在此匣中”，银匣子上刻有“肖像在金匣中”，铅匣子上刻有“肖像不在此匣中”。这正属于逻辑推理趣题，本文简要分析了分类讨论法、反证法以及简易逻辑法解决逻辑趣题。

【关键词】逻辑趣题；推理；分类讨论；反证法；简易逻辑

对逻辑推理感兴趣的同学一定很熟悉这样的题目：一个盒子里共有100只涂有红、黄、绿三种颜色的球，小张、小李、小王对不同颜色球的数量持有不同的观点。

小张说：“盒子里至少有一种颜色的球少于33只。”

小李说：“盒子里至少有一种颜色的球不少于34只。”

小王说：“盒子里任意两种颜色的球的总数不会超过99只。”

以下哪项论断是正确的？

A.小张和小李的说法正确，小王的说法错误。

B.小李和小王的说法正确，小张的说法错误。

C.小王和小张的说法正确，小李的说法错误。

D.小张、小王、小李的说法均为错误。

这些有趣的问题与一般的数学题不同，均可称之为趣题，下文笔者将采用分类讨论法、反证法及简易逻辑法来解决一些趣题。

一、分类讨论法

例1：甲、乙、丙三位同学中有一个人在放学后将教师打扫干净了，老师问他们三个人中谁做了这件好事。甲说：“是乙同学做的。”乙说：“不是我做的。”丙也说：“不是我做的。”三人中只有一个人讲了真话，你能从他们的回答中判断出谁做的好事吗？采用分类讨论法可有两种方法进行解答。

方法1：以人为载体。

（1）假设是甲做的，则甲的“是乙同学做的”是假话，乙说的“不是我做的”是真话，丙说的“不是我做的”也是真话，这与题干中给出的“只有一人说的是真话”明显不符，因此该假设不成立，好事不是甲做的。

（2）假设是乙做的，则甲的“是乙同学做的”是真话，乙说的“不是我做的”是假话，丙说的“不是我做的”也是真话，这与题干中给出的“只有一人说的是真话”明显不符，因此该假设也不成立，好事不是乙做的。

推断至此，我们可以确定，好事一定是丙做的，带入题中，甲的“是乙同学做的”是真话，乙的“不是我做的”是假话，丙说的“不是我做的”也是假话，满足了“只有一人说的是真话”的条件。

方法2：以所说的话为载体。

（1）假设甲所说的话为真话，那么好事是乙做的，那么乙所说的：“不是我做的”是假话，丙所说的“不是我做的”是真话，这与题干中给出的“只有一人说的是真话”相矛盾，因而甲所说的是假话，好事并非是乙做的。

（2）从解题步骤（1）我们可得出，甲所说的是假话，也就是说乙所说的“不是我做的”是真话，进而我们可以推断出，丙所说的“不是我做的”也是假话，那么我们可以确定，好事一定是丙做的。

二、反证法

在讲解反证法时我们以文章开头盒子中的球为例。

（1）从题干中盒子里有三种颜色的球我们可以推断出，每种颜色的球至少应有1只，也就是说另外两种颜色的球数量之和应小于等于99只，这也就验证了小王的说法是正确的，此时我们可将A、D选项排除；

（2）假设小张的说法正确，3种颜色球的数量分别为X、Y、Z，也就是说至少有一种颜色的球少于33只，即1≤X

（3）假设小李的说法正确，也就是说至少有一种颜色的球不少于34只，令X≥34，取X=34，则Y+Z=66，令Y=33，那么Z=33，因此小张的观点也是错误的。

在步骤（1）（2）（3）的分析基础上，我们可得出正确选项为B。

三、简易逻辑法

简易逻辑在高一数学教学内容中已有涉及，下文将以一例题讲解其在实际解答逻辑趣题中的应用。

例2：阿毛、阿明、阿田、阿宝四个孩子在吴伯伯家的后院里玩耍，突然有玻璃打碎的声音传来，吴伯伯跑出来察看发现有一扇窗户被打破了，于是问这四个孩子是谁打破了窗户。阿毛说：“是阿明打破的。”阿明说：“是阿田打破的。”阿田说：“阿明说谎。”阿宝说：“我没有打破窗户。”四个孩子中只有一个人说的是真话，那么下面哪个选项是正确的？

A.阿毛说的是真话，是阿明打破的。

B.阿明说的是真话，是阿田打破的。

C.阿宝说的是真话，是阿毛打破的。

D.阿田说的是真话，是阿宝打破的。

假设命题P为：窗户是阿田打破的，那么“阿明说谎”即窗户不是阿田打破的为命题，根据题意，只有一个人说的是真话，而命题P与命题肯定为一真一假，也就是说，阿明和阿田中必有一个人说了真话，而阿毛所说的“是阿明打破的”以及阿宝所说的“我没有打破窗户”均为假话，此时我们可推断出是阿宝打破了窗户，而阿田说的则是真话，故选择D选项。

四、结束语

通过分析以上三种解答逻辑趣题的方法我们不难看出，简易逻辑法更为简单方便，而这正是逻辑学的神奇魔力。高中阶段的逻辑学习有利于提升我们的逻辑思维能力，解决这些逻辑趣题的过程也会为我们枯燥的高中生活增加不少乐趣。

【参考文献】

[1]朱桂艳.高中数学教学中的逻辑思维初探[J].现代教育科学，2014.04：145-146

[2]郭宾.逻辑趣题多解[J].思维与智慧，1996.05：40-41