期权定价的策略及定价方法研究

【摘要】以Black-Scholes模型为开端，现代期权定价理论已经拥有了近40年的历史。随着现代金融市场的发展，市场上创造了很多更为复杂的期权产品，而且随着股票、债券、外汇和期货市场的发展，以其为标的资产的期权产品也在收益率和价格上发生了变化。本文根据不同期权产品的基本特征，分析并研究目前存在的定价理论方法以及存在的问题。

【关键词】期权 定价模型 布朗运动 维纳过程 B&S模型

一、引言

期权是一种金融衍生工具，期权最主要的特征是赋予期权的购买者一种交易或者操作的权利，在满足一定条件或者发生某种具体事件时，期权的买方通过执行权力可以转移风险或者获利。

期权不仅包括以金融资产为标的资产并在公开市场交易的期权，也包括以实物资产为标的物的实物期权和以期权为标的资产的复合期权。但是，实物期权是一种不可交易的、依附于实体投资的选择权，分析投资决策过程中的重要因素，会显著地影响实物投资未来收益状况。

在分析期权定价问题之前，首先需要认识目前存在的期权产品，因为不同性质的期权拥有不同的价格分布、风险特征、波动率交易规则和偏差率等问题。由于不同的期权行权条件、到期标的资产价格计算方式、期权标的资产种类以及权利性质是不同的，因此，在期权定价问题上目前的学者都是根据具体期权的性质和特征，并寻找可以复制或者描述该具体期权价格分布、波动性或者收益率变动的数学模型或者资产组合，最后通过合成投资组合或者数学模型加以计算期权的价格和价格变化轨迹。

二、Black-Scholes模型

1973年布莱克和斯科尔斯推导出以无股利支付的股票为标的资产的欧式期权的定价模型。该模型假设：（1）期权为欧式期权；（2）期权的标的资产的收益率服从对数正态分布；（3）在期权有效期内，标的资产不支付股利；（4）市场是无摩擦的，不存在交易费用、税收、无风险套利机会；（5）无风险收益率和标的资产收益率的变量是恒定的；（6）市场交易是连续的，不存在间断性和跳跃性特征；（7）标的资产波动率为恒定值；（8）标的资产价格服从几何布朗运动规律，即：，其中表示股票的在t时间的价格，和分别表示股票的波动率和预期收益率，表示标准布朗运动。

B&S模型的基本思路是：影响标的资产价格的各种不确定因素也会对以该资产为标的资产的期权产生影响，在标的资产和期权都服从维纳过程（布朗运动）的条件下，通过建立期权和标的资产的适当头寸的投资组合，用以抵消连续时间随机运动过程，则投资组合实现不存在无风险套利机会和零风险，收益率等于无风险收益率。B&S模型微分方程为：

B&S模型是现代金融期权定价模型的基础，之后所提出的期权模型有些是根据对B&S模型假设的修改，从新推导新的期权定价模型，或者是根据具体期权的性质从新的思路和方法中分析具体期权的定价问题。

三、蒙特卡洛模拟法

由于解析法的数学模型拥有十分严格的假设条件，因此很多期权产品受到标的资产种类、交易规则、执行价格决定方式等的限制，使用数学模型求解期权价格可能存在很大的误差，甚至是错误的。为了避免使用数学模型估计期权价格所面对的维数问题和收敛问题，可以通过多次运算进行大数统计的方法求解期权平均价格和期望值。

Monte Carlo模拟法是一种统计与概率论相结合的综合性计算方法。蒙特卡洛模拟法的基本思路是：在风险中性的假设前提下，通过已知的标的资产的价格分布函数，将期权的有效期平均分割成若干的小时间段，在每个小时间段通过计算机对已知的分布函数进行随机抽样用来模拟标的资产的价格可能的走势，再根据一定的数学方法计算期权的最终价值，利用具体的收益率进行折现计算期权的当期价值，将此次计算出的当期价值作为期权价格的一个样本，不断地重复以上的计算步骤，求解更多可能的期权价格随机样本数值，重复至少几千次同样的运算步骤，在根据求得的期权价格随机样本数值计算算术平均值，求得期权的平均价格。

蒙特卡洛模拟法在欧式期权定价方面的使用上，因为欧式期权只有在到期日才可以执行，因此按照以上提出的思路，计算出从期权发行日到期权到期日的时间内各个小时间段的收盘价，并根据执行价格和到期收盘价的差值计算期权的到期价值。数学表达为：假设标的资产服从风险中性的几何布朗运动，标的资产价格的微分方程为，设Z是一个标准正态分布的随机样本，如果整个时间段被分隔成，根据伊藤定理标的资产价格公式为，所以是服从均值为方差为的正态分布，通过随机抽样模拟标的资产的价格走势，按照或者的原则确定买入期权或者卖出期权的价值，最后根据折现后的期权价值现值或者，计算算术平均值或者以确定期权的当期价格。亚式期权定价与欧式期权基本相同，但是在确定执行价格时，要依靠整个模拟过程的价格走势来计算执行价格。

美式期权可以在整个期权有效期内的任何时间执行， Longstaff和Schwartz（2000）提出利用最小二乘蒙特卡洛模拟法。在使用蒙特卡洛模拟法计算美式期权价格时，一般来说引入收益率概念，通过比较持有期权的收益率和执行期权的收益率，判断是否执行期权。利用最小二乘法求解持有期权的期望收益的系数，收益率的期望数方程为，需要通过模拟的标的资产价格走势进行逆向求解的方式获得。

在确定蒙特卡洛模拟法的模拟次数的时候，需要平衡运算量和期权价格准确性，保证最有模拟次数。可以引入边际模拟价值概念来决定最优的模拟次数，公式为：，当边际模拟价值接近或等于0时，表明此时的模拟次数是最优的。

四、二叉树模型

二叉树模型是由Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，二叉树模型与蒙特卡洛模拟法一样，是一种确定期权价格的数值法。本质是通过预测标的资产价格变动方向和价格，根据概率和风险中性假设，得到具体期权的预期价值，通过逆推方法得到期权的当前价格。

建立二叉树模型的基本思路是通过将期权的有效期分割成若干个小的时间段，设定价格上升和下降的幅度，再根据假设的标的资产价格变动的微分方程，根据风险中性原则计算价格上下变动的概率，之后计算期权有效期所有时间段的可能价格。如果期权是欧式期权则考虑到期日日时的价格并计算期权价值，在通过折现求解期权的当前价格；如果期权是美式期权，则在每个价格点上计算期权的当期价值， 在t时刻如果期权价值大于0则执行期权，如果期权小于0则放弃执行，使用具体的收益率进行折现，使用具体的概率值求解期望值，从而得到期权在t-1时刻的价值，重复以上步骤直到当前时刻，得到期权的当期价格。数学模型表达为：一个美式买入期权当前标的资产价格为执行价格为X有效期为T，将期权的有效期分割为n个小时间段，期权的价格只按照u上涨或者按照d下降，第1期买入期权价值为 ，且 ，以此类推直至第n期的标的资产价格并且计算美式买入期权的价值，建立买入标的资产和卖出美式买入期权的投资组合，在无套利原则下无论标的资产价格如何变动，投资组合的收益率始终是无风险收益率，公式表达为 且 ，以此计算对冲比例值，根据方程组计算上升的概率和下降的概率，计算结果为，再延伸至n期的定价模型中，美式买入期权的定价公式为。美式卖出期权的定价思路与美式买入期权的定价思路是一样的，但是在确定卖出期权的价值时需要注意确定原则是，此外计算方法和上升下降的概率公式是一样的。

五、其他期权定价模型

目前，随着数学、统计学、心理学等学科的发展，更多其他专业的研究成果被应用到期权定价问题的研究上，极大地丰富了期权定价领域的内容。但是，现实中各个国家的金融市场受到本国国家发展的影响，有些国家的期权市场很难实现经典模型中所要求的“复制”，从而造成使用风险中性假设、不存在无风险套利投资组合原则的经典期权定价模型实用性降低。

金融市场作为一个综合性多层次的交易环境，市场中所有的组成要素都在随时随地发生变化，传统的线性模型经常无法满足现实中金融市场的条件。在期权定价领域中，目前最为普遍使用的非线性模型就是基于神经网络的期权定价模型。神经网络模型对生物的神经网络系统进行模拟，神经元作为基本的计算单位，神经网络的信息处理由网络单元的输入输出、拓扑结构所决定的一个典型的神经网络系统由输入层、隐含层和输出层组成，如图所示：

如果想要获得所预期的结果，就必须经过训练，每条连接的弧线都有自身相应的权重，学习导致弧线的权重数值变化，从而影响实际输入和预期输出之间的误差。输入和输出之间存在一个激活函数，输入值是激活函数自变量的函数，即：；输出结果是激活函数因变量，即：，并且存在反馈效应。描述期权定价问题，利用神经网络模型构建定价模型中的参数的混合密度网络，并基于参数的混合分布计算一段时间后标的资产的价格，进而确定期权的价值。

六、结尾语

现代金融学，金融资产的定价理论是以无套利定价原则和投资组合复制原则为基础发展起来的。未来在金融工具定价的问题上，需要不断引入更多其他学术领域的研究成果用以帮助定价理论的发展，再者更需要寻找除了无套利原则和投资组合复制原则以外的其他定价模型推导的原则，深入研究金融市场的特征和与产品市场、甚至政府之间的关联，在模型使用上扩大涉及的范围，在原则上更加贴近现实需要。

参考文献

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基金项目：北京市属高校人才强教深化计划——中青年骨干教师培养计划（2013），项目代码00491362340122

作者简介：淮涛（1989-），男，汉族，安徽人，就读于首都经济贸易大学经济学院，研究方向：国民经济学。