巧用“工作点”解决非线性伏安曲线的功率问题

电阻元件的伏安特性曲线可以直观地反映电流随电压的变化规律，是描述电学元件性能的重要工具.在高中物理学习中运用该图象分析讨论某些物理问题可以起到直观效果，而且可以帮助学生深刻的理解物理概念和物理规律.电源的伏安特性曲线和电阻的伏安特性曲线的交点，称电阻的实际工作点，可以反映电阻的实际工作状态，如实际电压，实际电流和实际功率，利用工作点可以巧妙地求解非线性伏安特性曲线的功率问题.

1正确认识这两种伏安特性曲线的各种含义

1.1导体的伏安特性曲线

导体中的电流随导体两端电压变化的图线即伏安特性曲线，常画成U-I或I-U图象，对于线性元件，伏安特性曲线是过原点的直线，直线的斜率（或斜率的倒数）数值上等于电阻，即U=IR，如图1，R2>R1；对于非线性元件，伏安特性曲线是弯曲的，如图2，曲线上某点与原点O的连线的斜率（或斜率的倒数）数值上等于电阻.

1.2电源的伏安特性曲线-路端电压U随电流I变化的图象

如图3所示，图象的函数表达式为：U=E-Ir，纵轴上的截距表示电源的电动势；横轴上的截距表示电源的短路电流，图线的斜率的绝对值为电源的内阻，图线下与坐标轴围成矩形的“面积”表示电源的输出功率.

1.3这两种伏安特性曲线的交点――工作点

如果把电阻和电源直接串联，如图4所示，如图5可以把两种伏安特性曲线放在同一坐标系中.直线OP和AB的交点为C，其横坐标值表示这时闭合电路的电流强度，纵坐标值表示这时的路端电压或外电路两端的电压，交点就表示电源外部链接定值电阻，此时电阻的工作电压就等于电源的输出电压或路端电压，通过电阻的电流就是通过电源的总电流，C点也称电阻在电路中的“工作点”.

2利用工作点巧解非线性元件的功率问题

有一些电学元件，电流与两端外加电压并不成正比，伏安特性曲线为弯曲的曲线，如热敏电阻、光敏电阻、金属热电阻等等.由于电阻元件两端的电压随电流的变化是非线性的，所以无法用闭合电路的欧姆定律直接进行计算实际功率.因此，处理此类非线性电阻元件的功率问题只能依靠图象法.当把电阻元件和电源连接后，由于电学元件两端的电压等于路端电压，流过电学元件的电流和流过电源的电流相同，所以可以把电源的U-I线和电学元件的U-I线画在同一坐标系中，两个图线的交点就是电阻元件的“工作点”.确定了“工作点”就可以判断电阻元件的实际工作状态，从而可以计算电阻元件的实际消耗功率.

例题（2013年）要测绘一个标有“3 V 0.6 W”小灯泡的伏安特性曲线，灯泡两端的电压需要由零逐渐增加到3 V，并便于操作.已选用的器材有：

电池组（电动势为4.5 V，内阻约1 Ω）；

电流表（量程为0～250 mA，内阻约5 Ω）；

电压表（量程为0～3 V，内阻约3 kΩ）；

电键一个、导线若干.

①实验中所用的滑动变阻器应选下列中的（填字母代号）.

A.滑动变阻器（最大阻值20 Ω，额定电流1 A）

B.滑动变阻器（最大阻值1750 Ω，额定电流0.3 A）

②实验的电路图应选用下列的图（填字母代号）.

③ 实验得到小灯泡的伏安特性曲线如图7所示.如果将这个小灯泡接到电动势为1.5 V，内阻为5.0 Ω的电源两端，小灯泡消耗的功率是W.

答案①A②B③0.1

解析本题第（3）是难点，电路图如图8所示，由于小灯泡的伏安特性曲线是非线性的，所以不能把小灯泡的电阻当成是定值电阻，小灯泡的消耗功率不能用闭合电路欧姆定律求解，可以利用电源的伏安特性曲线和小灯泡的伏安特性曲线相交就找到小灯泡的工作点，小灯泡的实际功率就可以用图线和横坐标围成的面积来求解.

做出电源的U-I线的函数式为U=E-Ir 即：U=1.5-0.3r，如图9所示，在图9中画出U=1.5-0.3r图线，图线交点显示该白炽灯泡的实际电压为1.0 V，实际电流为0.10 A.所以该白炽灯泡的功率为

P=UI=1.0×0.10 W=0.10 W.

拓展1若将这样两个完全相同的灯泡串联起来接在这个电源上，求每个灯泡的实际功率？

解析电路图如图10所示，和一个灯泡相比，两个灯泡串联时，当通过相同的电流，路端电压是每个灯泡两端的电压的2倍，有以下两种处理方法.

方法一做出两个灯泡串联等效为一个灯泡的伏安特性曲线：由于两个灯串联相同的电流路端等于每个灯泡电压的两倍，可以把图象的横坐标放大两倍，画出两个灯泡串联时的U-I线，即过点（0，0）、（1.0，0.5）、（2.0，0.10）、（2.4，0.12），如图11所示，显然，在图11中画出U=1.5-0.3r图线，与图11中两个灯泡的等效曲线的交点可以发现：两个灯泡两端的总电压约为1.20 V，则每个灯泡两端的电压约为0.60 V，通过两个灯泡的电流均为0.60 A.所以每个灯泡的功率为

P=UI= 0.60×0.60 W=0.36 W.

方法二变换电源伏安特性曲线的横坐标

由于题目给出的图线是一个灯泡的非线性伏安特性曲线，变换曲线比较麻烦，可以考虑变换电源的伏安特性曲线.横坐标的物理意义是一个灯泡的电压U，横坐标的物理意义是流过灯泡的电流即闭合回路总电流I，两个同样的灯泡串联后接入电源，由闭合电路欧姆定律有：E=2U+Ir，整理一下可得U=0.5E-0.5Ir，如果要在灯泡的伏安特性曲线坐标系中做出电源的伏安特性图线，应该保持横坐标和纵坐标的物理意义不变，则可以画出另一条电源的伏安特性曲线即E′=0.5E，r′=0.5r，如图12所示，做出U=E′-I r′，即U=0.75-2.5I图线，就可以找到一个灯实际工的作点，由图可知每个灯泡两端的电压约为0.60 V，通过两个灯泡的电流均为0.60 A.所以每个灯泡的功率为

P=UI=0.60×0.60 W=0.36 W.

拓展2若将这样两个完全相同的灯泡并联起来接在这个电源上，求每个灯泡的实际功率？

解析电路图如图13所示，和一个灯泡相比，两个灯泡并联时，两个灯泡两端的电压相同，通过电源的电流是通过每个电灯电流的2倍，处理方法有以下两种.

方法一做出两个灯泡并联等效为一个灯泡的伏安特性曲线：由于两个灯并联，回路的总电流等于每个灯泡电流的两倍，可以把图象的纵坐标放大两倍，画出两个灯泡串联时等效灯泡的U-I线，即图线过点（0，0）、（0.5，0.10）、（1.0，0.20）、（1.20，0.24），如图14所示，在图14中画出U=1.5-0.3r图线，显然，与图14中两个灯泡的等效曲线的交点可以发现：两个灯泡两端的总电流约为1.50 A，每个灯泡两端的电流约为0.75 A，两个灯泡的电压均为0.75 V，所以每个灯泡的功率为

P=UI=0.75×0.75 W=0.56 W.

方法二变换电源伏安特性曲线的纵坐标

利用图象法，要在同一坐标系做出两条伏安特性曲线，横坐标的物理意义是一个灯泡的电压U，纵坐标的物理意义是通过一个灯的电流，假设流过灯泡的电流为I，灯泡两端的电压为U，两个同样的灯泡并联后接入电源，由闭合电路欧姆定律有：E=U+2Ir，整理一下可得U=E-2rI，如果要在灯泡的伏安特性曲线坐标系中做出电源的伏安特性图线，应该保持横坐标和纵坐标的物理意义不变，则可以画出另一条电源的伏安特性曲线即E′=E，r′=2r，如图15所示，做出U=E′-I r′，即U=1.50-10I图线，即找到一个灯实际工的作点，由图可知每个灯泡两端的电压约为0.75 V，通过两个灯泡的电流均为0.75 A.所以每个灯泡的功率为

P=UI=0.75×0.75 W=0.56 W.

点评解决此类非线性问题的基本方法是图解法，即把电源和负载的U-I图线画在同一坐标系中，图线的交点即负载的“工作点”，负载的电压和电流可求，其他的量也可求，要特别注意坐标轴的物理意义，两条线的物理意义应该保持一致.

综上所述，只有正确认识电源和电阻伏安特性曲线的物理意义，并理解两种图线交点（工作点）的含义，通过图线的截距、斜率、“面积”，可以巧妙地确定不同电阻元件在工作状态下的电压、电阻、功率.在高中物理学习中运用该图象分析讨论物理问题不仅简单易行，通过不同方法的对比和总结，可以帮助学生深刻的理解物理概念和物理规律.通过同一题型的归纳总结，不同的方法对比，举一反三，也是提高物理概念和规律高效学习的重要策略.