努力求探索 实践出真知

案例背景分析:

《三角形内角和》教材以引导学生对三角形内角和的探究为主线,精心设计了一些符合学生年龄特点,适合学生参与的数学活动,较好地落实了新课标的理念。我找来了其他版本的教材和一些教学参考资料认真研读起来,更充分地准备了我的教学设计。随着思考的深入,一些问题越发让我不能自拔――通过这样的几个活动(准确地说教材预设了三个活动,而这样的三个活动学生未必都能够想到)就真能说明三角形的内角和是180度吗?操作中出现的误差怎么解决?学生能理解误差吗?能不能回避误差,用课件演示呢?学生有寻找其他方法的基础和可能吗?通过一段时间的思索,我做出了下面的教学案例……

学生情况分析:

学生在学习本节教学内容之前已经有了平角的概念,知道一个平角的度数是180度,同时也会使用量角器测量一个角的大小。另外学生还知道长方形或正方形有四个直角,也就是说他们间接地知道长方形的内角和是360度,以上的知识为学生计算三角形的内角和奠定了一定的基础。此外,我们预测学生最容易想到的探究或是证明的方法就是用量角器直接测量,然后加总求和;剪下三角形的内角把它们拼起来部分学生也可能会想到,但是用一个三角形直接折叠起来学生不太容易想到,因为就小学生而言还没有三角形的中位线这个概念,找不到中位线就很难把三角形折叠成一个长方形,这种方法对学生是有困难的。我们还应该注意到,学生在操作的过程中,可能会主观地将误差忽略,造成这种现象的原因,一方面可能是学生已经被180度牢牢禁锢了自己的思想,对于细小的误差直截了当地根本就不去管它了;另一方面,可能有学生会注意到这些方法造成了结论的不准确,但就自己的知识和经验而言确实又没有办法来解释这样的困惑,所以也就不去管它了。但是,不论我们在教学中遇到什么样的学生,我们可以不去分析他到底是属于上述哪一类的情况,但我们必须要挑起这样的认知冲突,让学生在矛盾的冲突中认识误差,并寻求更具科学性的方法来解决面临的问题。

课堂教学片段:

(教师揭示课题,讲解了三角形“内角”的概念之后)

师:同学们,三角形的内角和究竟是多少度呢?(教师的话音刚落,大家都异口同声地说出是180度)

(教师只好顺势问了一句)师:你们是怎么知道的呢?

生1:我爸爸给我说过。

生2:我在一本书里看到过。

生3:我在学习这节课之前看过书了。……

师:那你们能不能用数学的方法来证明这个结论呢?想一想可以用什么办法来解决?有办法的同学可以把你的想法和小组里的伙伴们交流交流。

(学生们立即分小组行动起来。利用教师准备的三角形纸片和量角器、剪刀等剪的剪,拼的拼,量的量。还时时交头接耳,忙得不亦乐乎。没过多久教室里安静了许多,大家好像都有自己的主意了)

师:那谁愿意代表你们小组来发表一下意见呀?

(话音刚落,一个男孩子立刻举起了他的小手。教师请他来发言)

生:我们是用剪和拼的办法来解决的。我们先把三角形的三个内角剪下来,然后把它们拼在一起。我们发现正好拼成了一个平角,一个平角是180度,所以三角形的内角和也是180度。(这个孩子滔滔不绝地表达着自己小组的意见,思路非常清晰)

师:那你能不能把刚才操作的过程上台给大家演示一下。

(小男孩拿着三个剪下的三角形内角走到实物展示台前,开始了演示的过程。不一会的工夫就把三个内角拼在了一块,最后还专门强调了一下:“我拼成了一个平角。”)

(教师看了看他拼成的“平角”――三块纸片零散地堆积在一起,缝隙、错位相当明显)

师:这就是那个平角?

生:对,就是。

(教师有意识地要征求一下大家的意见)师:大家都看见了吧,他们拼成的是一个平角吗?

(几乎是全体学生都异常洪亮地回答)生:是一个平角。

师:大家再好好看看,这真是一个平角吗?大家再想一想。

(附和的人少了些,但仍有部分学生还是坚定不移地重复着刚才的回答……教室里出现了瞬间的安静,好象有学生出现了思想斗争。这时有一个女孩子举起了手,好像有什么要说。老师请她来发言)

生:这个图形好像不是平角,平角像一条直线,而这个(边)不是一条直线。(女生的发言一结束,台上的孩子赶紧又用小手将三块纸片摆放了一下,可是仍然有一些缺陷)

师:大家觉得这个同学的意见如何?

(大家有一些犹豫,但还是有人说话了)生:好像是这样的。(其他的学生也有随声附和的)

(教师又转过头去问了问站在台上的那个男孩)师:你觉得呢?(他有些尴尬的点了点头)

师:用这种方法的小组是不是也遇到了同样的情况呀?可是你们就没有看出这里面的问题。(教师笑了笑)看来这样的方法是有一些问题的――出现了误差,它还不能准确地表明三角形的内角和就等于180度。还有用别的方法的吗?

生:我们是用量角器量出每个角的度数,然后加起来。

师:那你们的结果是多少?

生:是180度。

(他的话音刚落,马上有人说)生:我们也是这样量的,可是加起来发现内角和不是180度,但是很接近180度。

师:大家都听到了吧,他们遇到的这种情况说明了什么呢?

生:测量角度的时候仍然会遇到误差,测得的结果本身就不准确,加起来的和当然就会不一样了。

师:这位同学说得非常好,测量是会产生误差的,这是不可避免的。我们只能尽量保证这个误差尽可能的小。这说明了我们用量、剪、拼的方法都是有局限性,是不准确的,但是这些方法也帮了我们一个大忙――至少我们知道了三角形的内角和是180度左右,对吧。

那就没有别的办法了吗?……请大家想一想,我们能不能利用以前学过的某个图形来找到新的办法呢?哪些图形的内角和我们是可以知道的?

生:长方形和正方形的内角和我们是可以知道的,是360度。……

(在教师的引导和学生的积极思考中,大家在一起寻找着另一种方法――计算,来解决三角形内角和的问题)(教学片段结束)

案例反思:

1.学生已经知道了怎么办?

在开课的时候我本来想利用一个疑问句――三角形的内角和究竟是多少度――来吊一吊学生的胃口,从而让学生充满疑惑地开始下面的学习。可是话音刚落,学生便马上说出了我后面要讲的内容,而且是直奔要害!这样的情况也许还有不少。我不禁问自己:“学生知道的到底是什么?究竟知道多少?”答案很快就找到了,学生知道的是这个结论,而结论产生的过程未必知道,或知之甚少,正是知其然,而不知其所以然。要获得一个数学的结论,探究的过程是必不可少的。在过程中学生感悟到数学的思考、逻辑的美妙,体会到发现的愉悦,这是当前数学教学的核心思想。可是,学生已经有了一个现成的结论,再去探询未必可行。为了达到“知其所以然”的目的,于是我将课堂的进程作出了改变,变探索为证明,让学生通过自己的方法去证明这个结论,证明的方法其实也正好是探索的过程。同时,在这个阶段让学生接触到更加理性的数学证明,本身就是数学教学应该起到的作用,这对形成学生严密的数学逻辑,培养学生的逻辑思考能力都是很有帮助的。

2.如果忽略了误差就等于180度了吗?

这节课在以前的教材中是选学的内容,在新课程标准出台后,它已经变成了必学的内容。换言之,以前的数学教师可以想都不想或讲都不讲,因为是选学嘛。可是,现在我们就得好好研究一下这节课究竟可以怎么上了。这节课我在设计的时候,无法回避地和“误差”撞上了。误差在测量的时候是无法避免的,这是不争的事实。虽然在小学阶段,学生学习几何知识主要以经验几何、实验几何为主,在先前的学习中学生借助测量工具量一量,折一折、比一比等活动来探询数学真理的情形比比皆是,但这是由学生的年龄特征来决定的。我们还经常看到,教师运用多媒体课件来证明长方形对边相等、正方形四条边相等等结论,这是因为其实我们都知道,仅仅凭借一些简单的活动还不能说明那些结论。但是,随着学生年龄的增长,数学学习经验的不断丰富,在高段的学习中应该出现一些变化,也就是说,我们可以根据教学的内容适当渗透一些论证几何的思想和方法。这也正是上这节课的初衷。回到标题中涉及的话题吧。我在以前的听课中也听到有老师讲:“为什么不是180度呢?那是因为测量的误差造成的,如果我们忽略了这些误差就等于180度了。”不瞒大家说,我自己以前也是这样讲的,现在想想觉得好笑。为什么忽略了这些误差就等于180度,而不是179度或是别的什么度数呢?其实我和学生一样也被180度先入为主了,课堂中不论发生了什么,我们总要绕到180度上面去,甚至不惜去寻找一些牵强的理由。因为探究或证明的过程明摆着的,无论如何也得不到180度。(也许有人会说,那多媒体一演示不就解决了吗?――别急,下面的话题我要说到)但我们还掷地有声地把学生硬拽到180度那里去,岂不真成了笑话。客观地讲,这些过程只能得出三角形的内角和是180度左右,在这个基础上我们又去引导学生采取别(下转19页)(上接54页)的方法,也就是计算的方法去探询三角形的内角和,从而算出是180度。这才是一个完整而富有逻辑的数学学习过程,在过程中学生获得的可能比我们想象的要多得多。

3.明明有误差为什么还要让学生亲自实践?

在上面的赘述中,我强调了一个很重要的问题,那就是误差是不能刻意回避的。怎样才能让学生充分感受到误差的存在,同时误差又无法避免呢?这正是我在本节教学内容中安排学生动手操作的主要目的所在。数学新课程标准中明确指出要让学生经历动手“做数学”的全过程,只有学生亲自动手实践了,他的体验才可能深刻,对数学问题的认识和把握才更加准确。在做的过程中,通过教师的积极引导,他们也许会发现不论怎么加都加不出180度,这并不是加的过程有问题,而是相加的数据本身就是不准确的;他们也许还会发现,不论自己怎么小心翼翼地拼,总有些缝隙是摆在那里的。这样就不能说拼成了一个平角,还需要去寻求更好的方法。在活动中学生有了对数学本质问题的更进一步的思考。当然,这样的活动还有一个重要的价值,那就是它至少能够帮助我们认识到三角形的内角和是在180度左右,有了这样的认识,它距离我们的目标不就更进一步了吗?进而再来探求计算的办法,这就能让科学的探索过程更加明晰,学生会更好的受益。

(作者单位:山东省广饶县花官镇花官联小)

责编 /董 璐