时间：2022-09-21 02:22:13
初中数学总复习中，对于代数应用题的最值问题，我们通常是借助于函数（方程）来解决，那么几何最值通常借助什么知识呢？我们先了解几何最值的特点：当平面图形的某些元素，如点或线，在一定条件下运动时，与此相关的某些元素，如长度、周长、面积等的大小会在允许的范围内有规律地变化，此时可能会存在最大或最小值。其中，公理“两点之间，线段最短”会发挥重要的作用。
几何原形：两点之间，线段最短。
公理释义：从A点出发，到达B点之间有很多种线路可到达，如图1，其中最短线路是沿线段AB走。
1.直接使用原理。
数学原型：一条公路l，两旁有两个村庄A和B，要在两个村之间修一条路，请在图2中画出修路的最短线路。
分析：就数学角度而言，公路所在直线l，只是一个干扰因素，只要关注到“两村之间最短路线”，就能联想到公理“两点之间，线段最短”，直接连接AB即可。
例1 如图3，一条河的河岸l1，l2看作两条平行线，河两旁有两个村庄A、B，要沟通两个村庄需要修路和架桥，请画出沟通两个村庄的路和桥最短线路。
解：如图4，把A村沿河岸垂直的方向，平移河宽到点C，然后连接BC，与河岸交于点D，过D作AC的平行线交另一河岸于E点，连接AE得折线AEDB，就是修路、桥的线路。
2.通过一次轴对称使用原理。
数学原型：如图5，直线AB的同一旁有两个点C、D，请在直线上作一点P，使得PC+PD的值最小。
解决方案是老师和学生们都比较熟悉的，如图6：先作点D的对称点E，连接CE交AB于点P即可。
原型变式：改变题设中的“直线AB”为基本图形：
（1）变直线为正方形
如图7，点P是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上任意一点，求PC+PE的最小值。
分析：这是一道典型的勾股定理求解题。如何得到直角三角形是问题的关键。把问题简化成图7的基本形式，有一定的难度：首先，要把边BD看成直线l（对学有困难的学生，可以画在纸上后，调整纸的角度，摆成图7的形状，有利于解决问题），这样就能想到找点C关于BD的对称点，即点A，连接EA与BD的交点，就是点P，从而求出PC+PE的最小值等于AE长。
当然，在这个图形中，也可以把正方形的条件改变成等腰直角三角形，解决方法不变。
（2）变直线为圆（或部分圆）
如图8，扇形AOB中，OA=OB=4，∠AOB=90°，点C是AB的三等分点（靠近点B），若半径OB上有一点P，求PA+PC的最小值。
分析：虽然这个问题情境比（1）更难些，但是只要抓住变化过程的实质：“直线OB的一旁有两个点，在直线OB上找一点，然后求线段之和的最小值”，就可以简化成图7的形式，如图9。
3.通过两次轴对称使用原理。这种问题往往应用原理的痕迹不明显，但如果能意识到“距离最短”的时候，只要有转换思维角度，虽然思维要求比较高，但还是可以找到原理的运用方法的。
数学原型：如图10，∠AOB内有一点P，点C在射线OA上，点D在射线OB上，通过尺规作图，确定C、D的位置，使PCD的周长最小。
解：先作点P关于OA、OB的对称点M、N，然后连接MN交OA、OB分别于C、D两点，则此时PCD的周长最小，如图11。
公理“两点之间，线段最短”，不仅仅在初中数学教材中地位显赫，在高中数学的立体几何学中也备受关注，因此，对“她”的研究远没结束。