不能不提的几个概率问题

随着新课程改革的不断推进,统计与概率已由原来的群众演员的角色逐步向主要演员的角色过度.从近几年的中考试卷看,大部分概率考题传统、本位,属于概率基础内容和基本能力的考查,学生得分率较高.根据《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中第三学段的具体目标,“运用列举法(包括列表、画树型图)计算简单事件发生的概率” 和“利用概率解决一些实验问题”均为C级要求,即要求学生达到“在理解的基础上,把概率问题运用到新的情境中去”.在教学中,我发现学生对用列举法求概率还算熟悉,但在对概率的意义及对古典概型的判断上认识不够,常常犯错,特草书此文,与大家共勉．

1 正确理解概率的意义

案例1 小王研究“抛一枚硬币求正面向上的概率”的实验,经过10次抛掷试验,10次均为正面向上,则第11次试验正面向上的概率是多少？

错误答案：1或0．

正确答案：0.5．

点评 本试验中的每一次的抛掷都是相互独立的,第11次的抛掷与前面的试验结果没有任何关系.学生对本题的理解错误可能来自两个方面(1)概率为1.理由是10次试验10次全部是正面向上,学生产生了用即时频率代替概率的错觉,认为第11次肯定还是正面向上.(2)概率为0.有学生认为前10次试验都是正面向上的,而平时老师所讲的正面向上的概率是0.5,所以从总体上来看,这一次正面向下的可能性极大,所以认为第11次正面向上的可能性极小极小,概率为0．

由此可以看出,部分学生对概率的意义认识不够.概率是长期试验的结果,是频率计算的理想结果,而且抛掷次数非常大的情况下,频率越接近于概率.已经发生的连续抛掷试验与频率计算所需要的大量试验次数相比是微不足道的，至于第11次试验只有两种结果：正面向上或反面向上.他们出现的概率均为0.5．

2 认清事件“等可能性”

案例2 如图1,是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成两个扇形,同时转动两个转盘,转盘停止后,指针所指区域内的数字之和为4的概率是()

错误答案：C．

正确答案：B．

点评 此题考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.然而学生对本题的解答错误率却非常高,大部分同学都是这样解答的：

画树型图为：

这样对吗？他们可以这样去做吗？不少学生都记得平时常常通过画树形图或列表的方法求概率,但这一题行不通.我们平时用画树形图或列表所求的概率都是一种明确类型的概率,即古典概型.古典概型必须满足两个条件：(1)试验的每一个结果是等可能的(2)试验的结果是有限多个.只有满足了这样的条件,我们才可以用列举法求他们的概率.看看本题的第一个图形,图中的扇形1和扇形2面积相等吗？指针指向扇形1和扇形2的可能性相等吗？细心的同学应该记得我们第一课学习用列举法求概率时就学过“3色7分”(人教版九年级数学课本例题)的概率问题,此例题及本题告诉我们：用列举法求概率,一定要看清是不是满足古典概型的两个特征？各个试验结果是不是等可能？

类似此类典型问题的蚂蚁吃食问题：如图2所示,一只蚂蚁从树的最底部到树枝头上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,且一定走到树枝头处,则它获得食物的概率是[JY]()

错误答案：C．

正确答案：D．

3 推理求解特殊概率

中考考题常出常新,但万变不离其宗,这个宗就是基础知识、基本技能的和思想方法.从近年来的中考数学试卷看,概率考题在列举法上用足了功夫,枚举法、列表法、树形图均时常在大小考题之中.但2010年江苏省南通市的这道概率考题打破常规,题目不难,不用画图,不用列表,只要推理,令人耳目一新．

案例3 小沈准备给小陈打电话,由于保管不善,电话本上的小陈手机号码中,有两个数字已模糊不清.如果用x、y表示这两个看不清的数字,那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成),小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．

(1)求x+y的值；

(2)求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．

解 (1)因为1+3+9+x+3+7+0+y+5+8+0=x+y+36=20n(n为正整数)

又因为0≤x ≤9,0≤y ≤9,所以0≤x+y≤18,所以36≤x+y+36≤54,即36≤20n≤54,所以,n=2,所以x+y=4

(2)因为x+y=4,且0≤x≤9,0≤y≤9,所以有①x=0,y=4;②x=1,y=3;③x=2,y=2;④x=3,y=1;⑤x=4,y=0,这5种情况,因此,一次拨对小陈手机号的概率为0.2．

在中考试卷中,概率考题总体属于基础性强,难度系数小的题型.只要我们的学生能够细心读题,从容析题,认真答题,我想大家一定能够轻松应对,笑傲中考,成就人生．作者简介：范建兵,男,1977年生,江苏南通人.中学一级教师,南通市骨干教师,主要研究中学数学课堂教学及中考命题与评价,在省级以上刊物多篇．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文