在练习中感悟数学思想方法

“阴影面积的计算”是人教版《数学》九年级下册的教学内容，是中考中的热点问题，也是难点问题。邓老师围绕阴影部分面积计算中的重点、难点展开教学，所选的练习和例题以最新中考题为主，具有代表性、新颖性、综合性的特点，同时对解决问题的方法通过练习进行了较为全面的归纳整理，数学思想方法更是贯穿在一个个不同的练习中，促使学生的知识、能力充分发展，让他们在练习中感悟数学思想方法。

片段一 题组练习，夯实基础

师：这节课，我们一起来学习阴影面积的计算问题，先请同学们完成下列一组练习。（老师在投影上出示练习题）

1.如图1，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=■的图像上，则图中阴影部分的面积等于________。

2.已知：如图2，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为________。

3.如图3，已知点A、B、C、D均在O上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°四边形ABCD的周长为10 cm。图中阴影部分的面积为____ cm2

A.10 B.16 C.20 D.36

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（学生开始做题，老师巡视，等待学生做完题）

师：现在我请一些同学来说出这些题的答案，并说明理由。

生1：第1题填π。因为A和B都与x轴相切，圆心在y=■，所以得出圆的半径为1，然后通过旋转变换，将A中的阴影变换到B中，正好得到一个圆，所以阴影部分的面积为π。

师：很好，第2题呢？

生2：本题填■。可以先求出ABE的面积为■，再用勾股定理将AHC、BFC的面积之和转化为ABE的面积，也是■，所以总面积为■。

生3：第3题我算的结果为■π-■。

师：上面3个习题用到了哪些面积转化的方法？

生4：第1题用了等积变换法，第3题计算弓形面积用割补法，第2题运用了整体思想，即把几个阴影部分当做一个整体来求。

师：生4回答得很好。对于能求的阴影面积，我们可用公式直接求解，对于不能求的阴影面积，则常用割补法。另外等积变换也是转化面积的常用方法，如轴对称变换、平移变换、旋转变换以及三角形的同（等）底等（同）高等，对于多个部分的面积求和常转化为一个整体求解。

【赏析】在教学中经常出现这样的情形，学生练得很多，也很精细，但收效并不大。其原因之一就是孤立地练习，没有组成练习系统，结果学生的知识始终是零散的，很难达到系统整体掌握。在本教学片段中，邓老师设计了3个求“阴影面积的计算”的题组练习，这些练习按照一定的教学重点和学习方法对练习重新优化组合，有助于学生系统掌握知识，以查缺补漏。在教学中，邓老师的一句话：“上面3个习题用到了哪些面积转化的方法？” 就是引导学生归纳求面积的方法，让学生自己感悟练习中蕴含的转化思想。

片段二 例题学习，提升能力

师：复习完了上面的基础知识和基本方法之后，我们结合所学知识来学习下面的例题：

例1 如图4，在ABD中，C是BD边上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，且ABC的面积为14，求DEF的面积。

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师：读完题目后，你有哪些发现？

生1：EF是ABC的中位线，所以EF∥BC，且EF=■BC。

师：这个结论怎么用呢？

生2：由EF∥BC得AEF∽ABC，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，从而求出AEF的面积为3.5。

师：回答得很好，但我们需求的是DEF的面积，怎样转化呢？

生3：因为EF∥BC，且E是AC的中点，所以DEF与AEF同底等高，所以面积相等。

师：很好，从这道题我们收获了什么呢？

生4：求面积时，可用相似三角形面积之比等于相似比的平方，也可用等积变形。

师：生4回答得太好了，这两种方法都是计算面积的常用方法。

师：学完了例1，大家来看看例2又怎样来解决呢？

（老师在投影上打出例2，学生认真读题）

例2 将一副三角板按如图5位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合。已知AB=AC=8 cm，将MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图6），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是_______cm2 （结果精确到0.1，■≈1.73）。

师：要求本题中的阴影，你找到了哪些可用的条件呢？

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生5： AC=8 cm，只需求AC边上的高即可。

生6：∠BCA=45°由旋转还能得到∠DAC=60°。

……

师：从这道题你学到哪些数学思想方法呢？

生7：当三角形是斜三角形时，为求面积常作高。

生8：本题用到了方程思想。

师：对，方程思想是重要的数学思想，在计算时经常用到，大家解题时要重视方程思想。

【赏析】波利亚认为：要把三分之一的努力花在教基本的数学上，而把三分之二的努力花在培养学生有益的思维方法和思维习惯上。邓老师在教学中有效地发掘了学生潜能，把培育学生数学思想、提升学生的基本素养纳入教学的视野，通过不断设问，使生成跃入课堂，丰富了学生探索的旅程。当有学生总结了本题用到了方程思想，邓老师告诉同学们：“方程思想是重要的数学思想，在计算时经常用到，大家解题时要重视方程思想。”是啊，授之以鱼不如授之以渔，教给学生方法永远比只教如何解题重要。

片段三 巩固练习，拓展提升

（老师在投影上出现一组练习题，让学生练习）

1.如图7，O的半径为2，C1是函数y=■x2的图像，C2是函数y=-■x2的图像，则阴影部分的面积是_____。

2.如图8，已知EF是梯形ABCD的中位线，DEF的面积为4 cm2，则梯形ABCD的面积为 ______cm2。

3.如图9，平行于y轴的直线l被抛物线y=■x2+1、y=■x2-1所截。当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为________平方单位。

生7：第1题填2π，第2题填16 ，第3题填3。

师：有不同意见吗？

生3：第3题是6，其余与他一样。

师：我们一起来看一看第3题，哪个同学来谈谈你的方法？

生5：如图9，我发现直线l被抛物线y=■x2+1、y=■x2-1所截的线段长总为2，所以我通过平移将图形补成一个平行四边形（如图10），底为2，高为3，从而求出面积是6。

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师：对的，这道题实际上还用到了数形结合的数学思想，其他各题用到了哪些方法呢？

生1：第1题用轴对称变换把阴影拼成一个半圆。

生2：第2题用整体思想，三角形的底与梯形中位线相同，高为梯形面积的一半，所以三角形的面积是梯形的四分之一。

师：同学们归纳得很好，在解题时要重视应用这些思想方法。

【赏析】本来，阴影面积的计算，给人的感觉是冰冷的、枯燥的。因此，反复演练直至“熟能生巧”成了常态的教学，随即也促成了课堂的枯燥低调，学生学得乏味寡淡，老师教得兴味索然，而邓老师凭借自己的教学智慧，把这种工具性作用的技能教学融入轻松的练习之中，营造出灵动的课堂，开阔了学生的思维，学生就在不知不觉中把方法掌握了，把思想领会了。这样，学生学得轻松，学得愉快。

纵观本节课，邓老师由基础练习到例题提高再到拓展训练，不断巩固知识，对能力要求逐步提高，使本堂课的学习收效高。先练后评的模式设计，使学生主动参与学习活动，并在活动中进一步加深数学感受，知识不断内化，能力不断生成，使学生在不断的练习中感悟方程思想、转化思想、整体思想等数学思想方法。（作者单位：江西教育期刊社）■

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