基于三角模糊数的凸合成模糊对策解的结构

摘 要 将凸合成模糊对策的特征函数用三角模糊数的形式表示出来，并以三角模糊数表示局中人的参与度，从而建立了一个新的凸合成模糊合作对策的模型.在此模型的基础上，给出了凸合成模糊对策的三角核心和三角稳定集，并证明了上述解可由子对策的核心和稳定集表达出来.

关键词 三角模糊数；模糊对策；三角核心；三角稳定集

中图分类号 O225 文献标识码 A

The Structure of Solutions of Convex Compound Fuzzy Game Based on Triangular Fuzzy Number

PEI Hucheng, GAO Zuofeng

(College of Science, YanShan University, Qinhuangdao,Hebei 066004, China)

Abstract A new model of convex compound fuzzy game that the characteristic function and player involvement are based on triangular fuzzy number is given.On the basis of this model, the triangular core and triangular stable set of convex compound fuzzy game was given,which was proved to be expressed by their corresponding subgame.

Key words triangular fuzzy number；fuzzy game；triangular core； triangular stable set

1 引 言

自引入合作对策［1］以来，局中人之间如何合理分配总收入的问题得到了广泛的研究.特别是J.von Neumann和O.Morgenstern于1944年提出合成对策［2］以来，Aubin.J.P将模糊和对策结合起来，提出了模糊合作对策的概念［3］.1994年，赵景柱［4］提出了一种新的合成模糊对策――和-合成模糊对策，并研究了这种对策的稳定集.刘广智等［5,6］提出了一般化合成模糊对策，并探讨了这类合成模糊对策解的结构.高作峰等［7］提出了凸合成模糊对策模糊，并研究了凸合成模糊对策的稳定集.文献［8］研究了模糊核心的限制非空性,个体合理性和递归对策性等性质，刻画并证明了核心的存在唯一性.张强等［9］提出了区间合成模糊对策，给出了区间合成模糊对策解的概念.

2 基本定义

=aL,a,aR，其中aL≤a≤aR，aL和aR分别是所支撑的上界和下界，而a为中值，则称为一个三角模糊数，其特征函数可表示为［10］

μa(x)=x-aLa-aL,aL≤x≤a;x-aRa-aR,a≤x≤aR;0,其他

本文所讨论的三角模糊数均为非负三角模糊数，即=aL,a,aR，aL≥0.

定义1 记=aL,a,aR，=bL,b,bR为两个非负三角模糊数，则相关运算为：

() －=－aL,－a,－aR，

() +=aL+bL,a+b,aR+bR，

() －=aL－bR,a－b,aR－bL，

() =aLbL,ab,aRbR，

() /=aL/bR,a/b,aR/bL，＞0，

() k+=k+aL,k+a,k+aR，k为任意实数，

() －k=aL－k,a－k,aR－k，k为任意实数，

() k=kaL,ka,kaR，k≥0，

() /k=aL/k,a/k,aR/k，k＞0.

定义2 记全体局中人集合N=1,2,…,n，P(N)为N的全体幂集组成的集合，任意k∈P(N)为三角模糊联盟，用模糊集合的特征函数表示为：

k:P(N)(i)=(kL(i),k(i),kR(i)),

支付函数(k)=(L(k),(k),R(k))表示三角模糊联盟的收益，其中(k)是定义在P(N)到n上的映射，即:P(N)n且()=0，称(N,)是以给出的以N为局中人集合的n人三角模糊合作对策，简称为三角模糊对策，称n中的任一元素为一个三角模糊联盟，的第i个分量i称为局中人i参加模糊联盟的参加度.

定义3 记为三角模糊对策，：P(N)［0,1］n，令/i=(0,0,…,i,0,…,0)则称集合

()={|∈n,∑i∈Ni=(N),

ii≥(/i),i∈N,∈［0,1］n}

为对策的三角模糊分配集.

定义4 设,∈()，若存在一个三角模糊联盟∈［0,1］n，≠0，使得i＞i(i∈k())且∑i∈k()ii≤()，则称通过模糊优超，其中k()={i|i≠0,i∈N}，对于∈()和()，令

Dom={|∈(),＞},

Dom=∪∈Dom.

定义5 设N1，N2，…，Nm是m个非空集合，且满足Ni∩Nj=(i≠j),n1=N1 (i=1,2,…,m)，(0,1n1,1)，(0,1n2,2)，…，(0,1nm,m)是m个三角模糊对策，令N=∪mi=1Ni，n=N，则称(0,1n,)是1,2,…，m的三角凸合成模糊对策，记为=∑mi=1λii，其中0＜λi＜1，且∑mi=1λi=1，()=∑mi=1λii(/Ni)，=［0,1］n这里，/Ni=(j1,j2,…，jni)，j1,j2,…,jni∈Ni，i=1,2,…,m.

3 三角凸合成模糊对策的三角核心和

三角稳定集

定义6 记N=1,2,…,n为全体局中人集合，(0,1n,)为三角凸合成模糊合作对策，记()为三角凸合成模糊合作对策的三角核心，其中

()={/∈0,1n,∑i∈Ni=(e),

∑i∈Nii≥(),∈［0,1］n}.

定理1 设(0,1n1,1)，(0,1n2,2)，…，(0,1nm,m)是m个三角模糊对策，是1，2，…，m的三角凸合成模糊对策，(1)，(2)，…，(m)分别是1,2,…，m的三角核心，则∏mi=1(λii)是的一个三角模糊核心，即()=∏mi=1(λii).

证明 因为，是1，2，…，m的三角凸合成模糊对策,所以，Ni∩Nj=(i≠j).令

N1={1,2,…,n1},

N2={n1+1,n1+2,…，n1+n2},

…

Nm={∑m－1j=1nj+1,∑m－1j=1nj+2,…,∑m－1j=1nj+nm}.

首先证明

()∏mi=1(λii),(1)

对任意∈()，有

∑i∈Ni=(e),(2)

且

∑i∈Nii≥(),∈［0,1］n.(3)

令=1×2×…×m，其中

1=(11,12,…，1n1),

2=(2n1+1,2n1+2,…,2n1+n2),

…

m=(m∑m－1j=1nj+1,m∑m－1j=1nj+2,…,m∑m－1j=1nj+nm),

对于1∈0,1n1，记=1×02×…×0m，其中02∈0,1n2…0m∈0,1nm带入式(3)式得

∑i∈n1λ11i1i=∑i∈nλiii≥()

=λ11(/N1)+λ22(/N2)+…+λmm(/Nm)

=λ11(1)+λ22(02)+…+λmm(0m),

即

∑i∈n1λ11i1i≥λ11(1),1∈0,1n1.(4)

同理可得

∑i∈n2λ22i2i≥λ22(2) , (5)

∑i∈nmλmmimi≥λmm(m). (6)

取i=ei=(1,1,…,1)∈0,1ni(i=1,2,…,m),

则由式(4)，式(5)，式(6)得

∑i∈n1λ11i≥λ11(e1), (7)

∑i∈n2λ22i≥λ22(e2), (8)

…

∑i∈nmλmmi≥λmm(em).(9)

事实上

∑i∈n1λ11i=λ11(e1), (10)

∑i∈n2λ22i=λ22(e2), (11)

…

∑i∈nmλmmi=λmm(em). (12)

因为，若式(10)，式(11)，式(12)中有一个不成立（不妨假设式(10)不成立），那么由式(7)可知：

∑i∈n1λ11i＞λ11(e1), (13)

于是由式(8)，式(9)，式(13)可得

∑i∈ni=∑i∈n1λ11i+∑i∈n2λ22i+…+∑i∈nmλmmi

＞λ11(e1)+λ22(e2)+…+λmm(em)

=λ11(e/N1)+λ22(e/N2)+…

+λmm(e/Nm)=v(e). (14)

而式(14)与式(2)矛盾，所以式(10)，式(11)，式(12)成立.

由式(4)，式(5)，式(7)，式(8)，式(9)可得：

x/Ni∈(λii),

即

∈(λ11)×(λ22)×…×(λmm).

从而证明了()∏mi=1(λii).

下面证明∏mi=1(λii)().

对任意的1∈(1),2∈(2),…,m∈(m)有

∑i∈n11i=1(e1), (15)

∑i∈n11i1i≥1(1),1∈0,1n1, (16)

∑i∈n22i=2(e2),(17)

∑i∈n22i2i≥2(2),2∈0,1n2,(18)

…

∑i∈nmmi=m(em) ,(19)

∑i∈nmmimi≥m(m),m∈0,1nm ,(20)

记=λ11×λ22×…×λmm，则由式(15)，式(17)，式(19)得

∑i∈ni=∑i∈n1λ11i+∑i∈n2λ22i+…+∑i∈nmλmmi

=λ11(e1)+λ22(e2)+…+λmm(em)

=λ11(e/N1)+λ22(e/N2)+…

+λmm(e/Nm).(21)

显然，对于任意的∈［0,1］n，可表示为=1×2×…×m，其中i=/Ni (i=1,2,…,m)且i∈0,1ni (i=1,2,…,m).

于是由式(16)，式(18)，式(20)可得

∑i∈nii=∑i∈n1λ11i1i+∑i∈n2λ22i2i+…

+∑i∈nmλmmimi

=λ11(1)+λ22(2)+…+λmm(m)

=λ11(1/N1)+λ22(2/N2)+…

+λmm(m/Nm)=v().

即

∑i∈nii≥v() .(22)

由式(20)，式(21)两式可得：

=λ11×λ22×…×λmm∈(),

即

∏mi=1(λii)().

综上所述得()=∏mi=1(λii).

定义7 设为三角模糊对策，如果()的非空子集满足

（）∩Dom=(为空集),

（）∪Dom=(),

则称为的一个三角模糊稳定集，记为().

定理2 设(0,1n1,1)，(0,1n2,2)，…，(0,1nm,m)是m个三角模糊对策，是1，2，…，m的三角凸合成模糊对策，(1)，(2)，…，(m)分别是1，2，…，m的一个模糊稳定集，则的一个三角模糊稳定集是∏mi=1(λii)，即()=∏mi=1(λii).

证明 因为，是1,2,…，m的三角凸合成模糊对策,所以，Ni∩Nj=i≠j.

令

N1=1,2,…,n1,

N2=n1+1,n1+2,…，n1+n2,

…

Nm=∑m－1j=1nj+1,∑m－1j=1nj+2,…,∑m－1j=1nj+nm.

首先证明

∏mi=1λii, (23)

对于∈∏mi=1λii，即=λ11×λ22×…×λmm，其中

1=11,12,…，1n1,

2=2n1+1,2n1+2,…,2n1+n2,

…

m=m∑m－1j=1nj+1,m∑m－1j=1nj+2,…,m∑m－1j=1nj+nm,

有

ijj=ijij≥ii|j,j∈Ni,

i∈0,1ni,i=1,2,…,m, (24)

且

∑j∈niλij=∑j∈niλiij=λiiei,

ei=1,1,…,1∈0,1ni,i=1,2,…,m. (25)

对于∈0,1n，有

|j/Ni=/Ni|j,j∈Ni,i=1,2,…,m.

但是1/Ni∈0,1n1,i=1,2,…,m，所以由式(24)得

ij=/Nij≥i/Ni|j

=i/Nj|i=i/j,

j∈Ni,i=1,2,…,m.(26)

由式(25)得

∑j∈Nj=∑j∈N1λ1j+∑j∈N2λ2j+…+∑j∈Nmλmj

=λ11e1+λ22e2+…+λmmem

=λ11e/N1+λ22e/N2+…

+λmme/Nm=e.(27)

所以，即式(23)成立.

首先证明

∏mi=1λii∩Dom∏mi=1λii= . (28)

用反证法证明.

假设∏mi=1λii∩Dom∏mi=1λii≠，则,∈∏mi=1λii，使得＞，即∈0,1n，≠0，使

i＞i,i∈, (29)

且

∑i∈ii≤, (30)

显然=∪mi=1/Ni，而，所以式(30)可写为

∑i∈/N1λ1ii+∑i∈/N2λ2ii+…

+∑i∈/Nmλmii≤

λ11/N1

+λ22/N2+…+λmm/Nm.(31)

记h=i:/Ni≠,i=1,2,…,m，则可由式(31)得：l∈h，使得

∑i∈/N1λ1ii≤λll/Nl. (32)

否则

∑i∈/N1λ1ii+∑i∈/N2λ2ii+…

+∑i∈/Nmλmii＞

λ11/N1

+λ22/N2+λmm/Nm.

这与式(31)矛盾，所以式(32)成立.

因为

,∈∏mi=1λii,

所以

=/N1×/N2×…×/Nm，

=/N1×/N2×…×/Nm,

其中

/Nl,/Nl∈Sl. (33)

由式(29)和式(32)知，/Nl通过/Nl优超/Nl，

即

/Nl＞/Nl , (34)

式(33)与式(34)矛盾，从而式(28)成立

最后证明∏mi=1λii∪Dom∏mi=1λii=，方法类似于文献［7］中关于凸合成模糊稳定集的证明，具体过程略.

4 结 论

本文在前人研究的基础上将凸合成模糊对策的特称函数和局中人的参与度以三角模糊数的形式表示出来，建立了一个新的凸合成模糊对策的模型，并得到出了这种对策的三角核心和三角稳定集与子对策的三角核心和三角稳定集的关系，对于模糊合作对策的其他研究有一定的参考价值.参考文献

［1］ 谢政. 对策论［M］. 长沙:国防科技大学出版社, 2004.

［2］ J VON NEUMANN, O MORGENSTEM.Theory of games and economic behaviour［M］. 2nd.Princetion:Princeton University Press, 1944.

［3］ J P AUBIN. Cooperative fuzzy game［J］. Maththematics of Operations Research, 1981,(6):1-13.

［4］ 赵景柱. 和-合成模糊对策的模糊稳定集［J］. 中国科学院研究生学报, 1994,11(1):92-96.

［5］ 刘广智, 邹开其, 蔡光起. 一般化合成模糊对策［J］. 系统工程理论与实践, 2004,(1):70-75.

［6］ 刘广智, 邹开其, 王立琦. 一般化模糊合作对策解的结构［J］. 系统工程理论与实践, 2005,(1):90-95.

［7］ 高作峰, 王艳, 张向东. 凸合成模糊对策的模糊稳定集［J］. 运筹与管理, 2004,13(1):59-62.

［8］ 王外芳, 孙浩. 模糊合作对策核心的公理化［J］. 运筹与管理, 2010,19(4):59-62.

［9］ 孟凡勇, 张强. 区间合成模糊对策［J］. 模糊系统与数学, 2010,24(1):137-144.

［10］谢季坚. 模糊数学及其应用［M］. 武汉:华中科技大学出版社, 2006.