投票绝对公平吗?

２００８年１１月４日，美国总统大选让奥巴马成为美国历史上第一个黑人总统，也让这个日子永载史册。美国媒体在之前的宣传中纷纷称之为“你一生中最重要的一次投票”――事实上，每次投票之前都会有类似的宣传出现。

既然有投票，就有事前的机关算尽，事后的败寇成王。美国人的情绪在那个特殊的夜晚激烈地动荡着，“藕粉”们（奥巴马的支持者）纷纷称之为美国历史的新纪元，“麦片”们（麦凯恩的支持者）愤愤不平地说奥巴马只不过是靠巧言令色才窃得大位，“稀饭”们（希拉里的支持者）则黯然神伤，来来去去想的都是“要是希拉里当时赢了初选……”由于众所周知的原因，我们对于投票这件事情的了解几乎总是匮乏的。隔岸观火，也不失为一个学习投票常识的办法。

“且慢，”也许你会有异议，“如果说选举过程中的政治操作需要学习还可以接受的话，投票本身还有什么知识可言？一人一票的统计就是了啊。”当然不仅如此，正如我们所知，美国的选举制度并非是简单的一人一票。事实上，“一人一票”并不一定是个自然的办法，甚至也不一定是个好办法。

让我们从下面这个简单的例子开始。假设有一组人要从Ａ、Ｂ、Ｃ三个候选人中选出一个来担任某项职务。大家对这三个人的内心偏好如下：

有２个人认为Ａ优于Ｂ，B优于Ｃ

有３个人认为Ａ优于Ｃ，C优于Ｂ

有２个人认为Ｃ优于Ｂ，B优于Ａ

有４个人认为Ｂ优于Ｃ，C优于Ａ

现在大家按照每人投一票的原则，给心中最胜任的人选投上一票。结果是Ａ得５票，Ｂ得４票，Ｃ得２票，排名是Ａ高于Ｂ，B高于Ｃ，最后Ａ当选。看起来没什么问题。

如果换一个规则，假定大家认为每人一票不足以反映民意，决定仍然按照上面的偏好顺序投票，但是每个人分别投两票给他认为最胜任和次胜任的人选，那么结果会有多大差别？计算一下就会发现，最后Ａ得５票，Ｂ得８票，Ｃ得９票，排名是Ｃ高于Ｂ高于Ａ，当选的是Ｃ，原先票数最高的Ａ反而垫底！

事实上，在投票这件事情上，我们面对的不仅是简单的数字游戏，而是人类社会最本质的问题之一：如何才有可能把社会中每个成员的意见，综合成为一个社会的整体意见？有趣的是，对这个问题最好的回答之一是以数学形式得到的。１９７２年诺贝尔经济学奖得主Ｋenneth J．Ａｒｒｏｗ给出了著名的Ａｒｒｏｗ定理。该定理考虑的是比投票更为普遍的情况，即如果一个集体中每个成员都对给定的一系列选项（或者候选人）有一组偏好顺序，那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序？换句话说，需要找到一个函数，把所有人的排序映射为一个综合的排序，关于这个函数我们有下面这些自然的标准。

非独裁性：这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见。也就是说，不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。

帕雷托最优：如果在每个人的排序中Ａ都优于Ｂ，在输出结果中Ａ也应当优于Ｂ。

无关因素独立性：如果人们对Ｃ的看法改变了，不应当影响到结果中Ａ和Ｂ的相对排序。

Ａｒｒｏｗ定理是说，只要有三个或更多的候选者，就不可能存在一个函数，或者说“社会选择机制”，满足这些标准。这一结论看似是令人失望的。它意味着我们这个社会不仅暂时还不完美，而且永远都不会完美。而在这一切之中最迷人之处，则是这样复杂的现实可以被如此优美的数学所描述和论证。