基于倒谱分析的运动模糊参数估计

摘要: 运动模糊是导致图像降质的最常见因素之一,估计运动模糊的点扩散函数是运动模糊复原的前提和关键.分析运动模糊图像频谱和倒谱的特征，提出在倒谱域估计点扩散函数的方法,利用倒谱中2个负峰值点坐标估算模糊尺度，对倒谱取绝对值后用Radon变换检测模糊方向，对运动模糊图像的参数进行估计.实验表明该方法是有效的.

关键词: 图像复原；运动模糊；点扩散函数；倒谱；Radon变换

中图分类号:TP 391

文献标志码:A文章编号:1672-8513(2012)02-0150-04

Parameter Estimation of Motion Blur Based on Cepstrum Analysis

GUO Hongwei1, ZHU Jiaxing1, CUN Ning2

(1.Engineering College, Honghe University, Mengzi 661100, China; 2.Kunming Experiment Station, Yunnan Provincial Administration of Radio and Television, Kunming 650031, China)

Abstract: Motion blur is one of the most common blurs that degrades images，estimating the parameters of the PSF is necessary for image restoration. For uniform linear motion blurred images, the motion direction and blur extent are two key parameters determining the point spread function. The paper analyzed the characteristics of the spectrum and cepstrum of motion blurred images, and an algorithm which estimated the point spread function in the cepstrum domain was proposed. The coordinate of two negative peak points in cepstrum was used to estimate the blur extent and to obtain the absolute value for cepstrum, and then the Radon transform was employed to find motion direction. The experiments for the parameter estimation of motion blurred images showed the validity of the proposed method.

Key words: image restoration; motion blur; point spread function; cepstrum; Radon transform

在图像拍摄记录的过程中，由于被摄物与成像系统产生相对运动造成图像降质而导致的图像模糊称为运动模糊.经典图像复原技术都是以图像退化的某种先验知识比如点扩散函数(Point Spread Function，PSF) 已知为基础的.运动模糊图像的点扩散函数由模糊方向和模糊尺度共同确定.

匀速直线运动所造成的图像模糊更具有一般性和代表性，对它的成因进行分析，出现了多种辨识模糊参数的方法，主要的有空域法、频域法和倒谱法.空域法直接在图像空域利用微分、相关等方法计算估计退化参数，文献［1］提出了一种基于方向微分的运动模糊方向鉴别方法，文献［2］利用对退化图像进行差分自相关的方法检测图像模糊尺度.频域法利用匀速运动模糊图像频谱具有规则明暗条纹的特性分析估计退化参数［3-7］，如文献［3］ 的Radon变换法，文献［4］的相关系数法等.倒谱法对图像频谱取对数，然后再进行傅里叶反变换，可以分离退化图像模糊信息和原始信息，进而获取图像模糊参数［8-11］.文献［8］ 通过对退化图像的倒谱图实施灰度变换,运用Canny边缘检测提取出倒谱，实施Radon变换确定模糊方向，用人工方式在边缘检测后的倒谱中判读亮条纹两端亮点坐标来计算模糊尺度.由于运动模糊图像倒谱中只存在1条亮条纹，其它像素为低灰度值（黑色），文献［8］中的灰度变换和边缘检测增加了算法的计算量，而未从本质上提高参数估算精度，其模糊尺度的估算需人工测量，增大了判别误差，且不便于实现算法自动化.文献［9-10］利用倒谱具有左右对称的性质，取倒谱的右半平面自动检测灰度极小值（为负数）点的坐标，采取几何运算方式估算模糊方向和模糊尺度.这种方法计算量较小，但由于图像像素的离散性，仅利用一个点来估算模糊方向，除某些特殊角度（0°,45°,90°）外，容易出现较大估算误差，模糊尺度越小，对模糊方向的估算误差会越大.文献［11］对倒谱图进行Radon变换鉴别出运动模糊方向后，通过倒谱旋转将模糊方向旋转到水平轴方向，再进行模糊尺度的鉴别.本文通过对模糊图像频谱和倒谱的分析，结合以上文献算法的经验，提出一种基于倒谱分析的运动模糊参数估计方法.利用倒谱中的灰度负峰值点坐标，采取几何运算方式得到模糊尺度；对倒谱取绝对值后用Radon变换鉴别出模糊方向.实验数据表明，本文算法估计的模糊方向和模糊尺度误差较小.

1 运动模糊图像的分析

图像的退化过程如图1所示.

对于匀速直线运动模糊图像来说,点扩展函数可以描述为：

h(x,y)=1L,x2+y2≤L且yx=tan θ;0, 其它 . (2)

式中，L为模糊尺度，θ为运动方向与x轴正向夹角.若θ=0°，即水平匀速直线运动，则点扩展函数变为：

h(x,y)=1L,0≤x≤L;

0,其它 . (3)

1.1 运动模糊图像的频谱分析

对式(3)做Fourier变换可得：

H(u,v)=sin(πuL)πuLe－jπuL .(4)

sin xx称作辛格函数，用sin c(x)表示，是偶函数.在x为0时函数取得最大值1，x为nπ（n是不为0的整数）时函数值为0.所以，匀速直线运动模糊图像的频谱G(u,v)有一系列的平行暗条纹，这些暗条纹与水平方向垂直,且位置与sin(πuL)πuL函数的零点对应.图2所示为运动模糊图像和其频谱图，可看出频谱中暗条纹方向与运动方向垂直，且条纹间距与模糊尺度L成反比关系.一些文献［3-7］就是基于这一频谱特性估算运动模糊参数的.

1.2 运动模糊图像的倒谱分析

倒谱是对数倒频谱的简称，图像g(x,y)的倒谱定义［12］如下：

Cg(p,q)=F－1［lg｜G(u,v)｜］ .(5)

式中，G(u,v)是图像g(x,y)的傅里叶变换，F－1［•］表示傅里叶逆变换.为使G(u,v)=0时，函数有意义，在实际工程应用中，一幅图像的倒谱通常用下式计算:

Cg(p,q)=F－1{lg［1+|G(u,v)|］} .(6)

无噪声影响时，图像退化的倒谱描述为：

Cg(p,q)=Ch(p,q)+Cf(p,q) .(7)

式中各项为式(1)中对应的倒谱.可见,空域卷积在倒谱域变成了加法,因此可以比较容易地分离出模糊信息.为了便于说明运动模糊图像倒谱的特性，选取大小为65×65像素，中心点灰度为256，其余像素灰度为0的仿真图像进行模糊处理（模糊角度45°、模糊尺度20 像素）.图3是其倒谱的平面图和三维图，图3(a)显示倒谱中沿运动模糊的方向上有1条亮带，因此检测出亮带与水平方向的夹角即为运动模糊角度.图3(b)的倒谱三维图由2部分组成，在运动模糊方向上，一部分是正峰值成分，反映未退化图像特性；另一部分是负峰值成分，反映模糊系统的特性.2部分在图上占有的区域不同,2个负峰值点之间的距离即为运动模糊尺度的2倍.

2 Radon变换

二维空间中函数f(x,y)的Radon变换定义为：

R(β,ρ)=Sf(x,y)δ(ρ－xcosβ－ysinβ)dxdy .(8)

其中，S是被积函数所在区域，β是旋转角度，ρ是原点到一直线的距离，δ是冲激函数.式(8)表示f(x,y)在一条直线上的投影，即沿该直线的线积分.这条直线斜率为tan(β+π2)，截距为ρsinβ.图4所示给出了Radon变换的示意.对于一幅图像，当β一定，ρ取遍所有值时，就得到其在β方向上的投影；再改变β值，就可以得到图像在不同方向上的投影.

Radon变换与Hough变换一样，都可以将图像平面上的线转换成参数平面上的点.Radon变换可以理解为图像在ρβ平面上的投影，ρβ平面上的每一点都对应着xy平面上的1条线.因此，图像中1条高灰度值的线就会在ρβ平面上形成1个亮点；低灰度值的线则会形成1个暗点.图像平面中直线的检测就转化为在参数平面中对亮、暗点的检测.对图像做1°~180°的Radon变换，结果可用矩阵R表示.该矩阵有180 列，每一列向量是图像在1个角度上沿1族直线积分的投影值.对模糊图像倒谱做1°~180°的Radon变换，由其特征可知,在β=(θ+90°)时, 由于积分直线束与倒谱中的亮带平行，所得投影向量中的极大值即为矩阵R中的最大值.

图5所示为对图3(a)的倒谱做1°~180°的Radon变换，取每个角度上Radon变换的极大值形成的曲线.最大值对应角度β=135°,所以用Radon变换检测到的运动模糊角度θ=β－90°=45°,这一检测结果与实际模糊角度吻合.

3 算法实现

根据以上的分析，提出估计运动模糊参数（模糊尺度L和模糊方向θ）的算法过程如下：

1) 由式(6)计算退化图像倒谱Cg(p,q),并且移位使p=0,q=0位于中心位置;

2) 检测出倒谱Cg(p,q)中2个负峰值点的坐标Cg(p1,q1)和Cg(p2,q2),由下式计算得到模糊尺度：

L=12(p1－p2)2+(q1－q2)2 .(9)

由于倒谱具有对称性，检测2个负峰值点坐标时，可以先设置Cg(p,q)右半平面灰度全为0，检测此时倒谱的极小值，即得左半平面的负峰值点Cg(p1,q1)；然后再设置Cg(p,q)左半平面灰度全为0，检测出右半平面的负峰值点Cg(p2,q2).

3) 对倒谱的绝对值Cg(p,q)做1°~180°的Radon 变换，找出变换矩阵R中最大值对应的β角，则模糊角度：

θ=β－90° . (10)

4 实验与结果分析

在Matlab平台下对算法进行验证.表1为在不添加噪声情况下，对图6所示的Bridge图像做不同尺度和不同运动方向的模糊后，采用文献［10］及本文方法估计的点扩散函数.

由于运动模糊图像倒谱具有对称性，文献［10］采用倒谱右半平面负峰值点坐标和倒谱中心正峰值点坐标计算模糊尺度，与本文采用2个负峰值点坐标计算结果一致，模糊尺度在5～30像素时的估算误差均不超过0.6像素，估计精度较高.相比文献［10］用1个点计算运动方向，本文的Radon变换法由于利用了倒谱中整条亮带上的点，所以估算精度更高，几乎没有误差.而文献［10］估计的运动方向除某些特殊角度（0°,45°,90°）外，出现较大估计误差，模糊尺度越小，对模糊方向的估计误差越大.

图7(a)是一张贴在白色墙面上的A4纸打印广告，用相机拍摄时由于相机抖动造成运动模糊.使用本文方法检测出退化图像模糊方向为7°，模糊尺度为15.6像素，使用维纳滤波进行复原，并对复原图像进行了剪切去除边缘的振铃得图7(b).复原图像中，广告标题“红河学院送水部”字样已能辨识，说明参数的估计结果是正确的.

5 结语

分析运动模糊图像傅里叶频谱和倒谱的特征，根据倒谱中有2个负峰值点和亮条纹方向与运动方向一致的特点，提出用负峰值点坐标估算模糊尺度，用Radon变换检测模糊方向.通过对仿真运动模糊图像估计PSF参数的实验证明，该方法可以很准确地识别运动模糊尺度和方向.由于倒谱信息很微弱，在图像存在噪声时，倒谱中的模糊系统特性极易被掩盖，针对含噪声运动模糊图像的参数估计，算法还需做进一步改进.由于绝大多数实拍运动模糊图像不是理想的均速直线运动，对其参数估计和复原都比仿真图像困难，本文算法对大多数实拍图像的参数估计结果不理想.下一阶段将对实拍运动模糊图像的参数估计和复原算法开展研究.

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