小题大做――基于高考数学压轴题的教学设计

摘要：高考，作为中国第一大考，牵动着亿万家庭的神经。能否在千军万马中脱颖而出，更多取决于平时刻苦而又严格的训练。如何引领学生从小处入手，深入浅出，游刃有余地解决高考数学中的重难点问题，一直以来都是广大教师不断探索的经典课题。“小题大做”作为高考数学压轴题的突破口，已经被越来越多的教师采用。

关键词：小题大做 高考 压轴题 教学设计

中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2014.18.032

1 小题大做的内涵

第一，小题是指来自教材中的典型的例题及课后练习题或课后习题；

第二，大做是指以这些典型的“小题”作为母题，一题多变，适当加宽加深，用以解决高考数学压轴题。

2 小题大做的教学设计

第一，设计意图：解决高考数学压轴题；

第二，设计过程：

（1）选择“小题”即母题；紧密围绕高考数学七大主干知识，深挖教材，依据新课标要求精心选择；

（2）一题多变；注重知识横向、纵向的联接，多角度立体设计；

（3）加深加宽：以高考压轴题难度为准绳，在实践中学会研究，利用研究指导实践。

3 小题大做的案例分析

教学设计：

第一，题目：高考数学压轴题系列之导数与不等式综合。

第二，设计过程：

（1）精选“小题”即母题，试题来源：人教版教材选修4-5第72页贝努力不等式：设x>-1，且x≠0，n为大于是的自然数，则（1+x）n>1+nx.

（2）一题多变：依母题为原本，进一步探寻相关结论如下：

常用的近似计算公式（当|x|充分小时）

① [1+x]≈1+[1

2]x； ② [1+x] ≈1+[1

n]x； ③[ 1

1+x] ≈1-x；

④（1+x）≈1+αx（αR） ⑤ex≈1+x； ⑥ln（1+x）≈x；

（3）加深加宽：深入研究历年高考数学压轴题，提炼总结，概括提升针对⑤ex≈1+x； ⑥1n（1+x）≈x；进一步引入高观点结论：

泰勒展开式对⑤ex=1+x+[x2

2！]+[x3

3！]+[x4

4！]+……可推广为ex≥1+x+[x2

2] （x≥0）等；

对⑥有ln（1+x）=x-[1

2]x2+[1

2]x3-…+（-1）n-1[1

n]xn+Rn（x），由此可得

1n（1+x）≤x（x>-1），更进一步提炼，又可得出以下重要结论：

（）1-[1

n]≤lnx≤x-1；

（）ln（x+1）≤x≤ex-1；

（）x≥0，x-[1

2]x2≤ln（x+1）≤x-[1

2]x2+[1

3]x2；

（）x≥1，lnx≤[1

2]（x-[1

n]）≤x-1。

以上5个重要结论均可用图像法快速证明。

第三，学以致用：

例1.（2013高考新课标全国Ⅱ卷21题）

已知函数f（x） =ex-ln（x+m）；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0 .

分析：由结论ex≥1+x，ln（1+x）≤x（x-1），

又由ln（x+2）≥ln（x+m），

故有ex≥1+x≥ln（x+2）≥ln（x+m），即可证明结论。

题后反思：当题中出现与诸如ex；lnx；ln（1+x）等有关的不等式综合问题时，应高度注意上面5个重要结论的应用，降低思维难度，提高解题效率。

例2.（2012天津卷20题）

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

（Ⅱ）若对任意的x[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数的最小值；

分析：由（Ⅰ）可得a=1，原题等价于当x-ln（x+1）≤kx2恒成立时，实数的最小值。

由于结论1n（1+x）≥x-[1

2]x2恒成立，故只需x-kx2≤x-[1

2]x2恒成立，所以有k≥[1

2]。

题后反思：本题解法很多，不同思路引发的解题过程颇有差异。本解法充分利用1n（x+1）的泰勒展开式，完成从对数函数向二次函数的转化，从而使原命题转化为二次函数恒成立问题，大大降低了思维难度，避免了复杂的求导运算过程，真正达到高效解决问题。

例3.（2011浙江卷22题）

已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a>0）.

题后反思：本题为典型的数列不等式证明问题，构造函数不等式是解决问题的关键。如何快速、准确地构造函数不等式？

法一分析法，两边凑。即先将原命题合理转化，再进一步观察分析，探寻出函数原型，最后递推叠加即可；

法二是依据已知函数联系已经探索出来的5个重要结论，直接构造新的函数不等式，即直接法。其特点是思路清晰、方向明确，比较易于学生掌握。

4 结语

荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确的方向是实行再创造，就是由学生本人把自己要学的东西自己去发现或创造出来。小题大做，举一反三，充分体现出学生在实践中研究，不断自主发现和创新，并利用自己的研究指导实践的创新思维模式，激发学生创造的潜能，真正做到高效学习。

参考文献：

[1]邱红，徐卫国.一道赛题的多种解法[J].中学生数学，2014，（2）.

[2]郭胜光.一道2013年高考压轴题的探究[J].理科考试研究，2014，（1）.

[3]杨小军.科学教学中如何培养学生的探究能力[J].神州，2013，（21）.

[4]王洪忠，陈学星.创新能力培养[M].青岛中国海洋大学出版社，2008.

作者简介：闫东（1972-），男，辽宁大连人，西南大学教育博士在读，全国奥数高级教练，辽宁省大连市旅顺中学副校长，重庆 400715

李艳玲（1972-），女，辽宁大连人，辽宁省大连市第一中学，辽宁大连 116011