一种基于联合检测估计方法的信号估计方法

【摘要】很多实际问题都涉及到检测与估计，而检测与估计的性能又是相互影响的.因此就产生出了联合检测估计这种方法，这种方法能平衡检测与估计的性能，从而能比较好的解决实际问题. 本文就是应用联合检测估计这种方法的思想，估计出不确定的信号，其中信号的分布含有参数，参数的分布信息或相关先验信息未知.利用联合检测估计方法处理这种情况，现在还没有相关的文献介绍，本文主要就是研究这种情况.最后，我们再用实验去模拟，可以看出它的效果非常好。

【关键词】联合检测估计 信号估计 样本均值 判别分析

一、引言

很多统计判别问题都会涉及到两个基本的问题：判别与估计.判别问题是根据得到的观测信息从一系列离散备选集合中选择其中一个集合或者为这些离散集合进行分类等问题；而估计问题，是估计信号或信号中的参数等问题.有些时候判别与估计是没有明显区别的，如估计或判别目标的数目.

尽管一些统计问题仅涉及到判别或仅涉及到估计或分开讨论，然而对于很多这类问题，一种比较好的方法是联合判别估计或联合检测估计 （JDE）方法.JDE很早以前就被研究过，不过最近又得到了广泛的关注。

而在噪声的环境中，不确定信号的估计问题又是一个很重要的话题，已经有很多学者在这方面做了研究，如：动力系统中的故障诊断；图像分离；数字通讯； 传感器的目标检测与方向观测；不确定信号的估计。在中，它考虑了对信号的检测分类问题，采用的方法是基于黎曼——皮尔逊原理的思想，采用限制性极小极大原理来处理联合检测与估计.本文也基于JDE这种思想，解决一类不确定信号的分类估计问题，采用的是类似李晓荣老师的方法。在这里只考虑两类信号的分类估计，对于多类别的信号处理情形类似，不过要复杂很多，详情后面进行描述.

本文的基本框架结构是：接下来的第二部分是问题的数学描述；第三部分优化方案的推导；第四部分性能评估；第五部分算法的步骤；第六部分实验模拟；最后总结。

二、问题的数学描述

首先我们来描述我们感兴趣的话题.在生活中，我们常会接收到或观测到一组数据，然后根据这些数据做出一些估计，但在这之前我们需要判断或对数据进行分类，判别它们是不是来自相同信号的数据，它们可能是来自相同信号的数据，但也有可能是不同类别的信号数据，可能是两个类别的或者更多类别的信号，不同信号所用的估计公式是不一样的，当信号是不同类别的，而我们把它当成相同的来处理或信号是相同类别的，却当成了不同类别的信号处理，这些处理结果都不是我们所期望的.我们的目的就是从得到的这些数据中还原出我们想要的信号，自然就要先对这些数据进行分类处理.在这里我们考虑两个类别的数据，对于多类别数据讨论类似，不过形式要复杂很多，这里就不介绍了.

假设Y是我们观测的一组数据，Y的类别可能是一样的，也可能不同，即Y∈{S1，S2}，S1，S2是两个类别的数据.Y有可能全部是S1中的，也可能全部是S2中的，或S1，S2中的都有.我们的目的就是通过Y估计出信号X.而我们的观测数据Y是信号X经过信道H之后得到的，它们的关系为：：Y = HX +V ，其中V～N（0，Rv），V为噪声，且与X独立，由Y的不同类别，可知X也不同类别.在这里把X的分类问题看成是一种检测问题，那就有下面的描述：

假设信号x是我们需要估计的信号，x～N（μ，б2），其中б2已知，μ未知，其中至少来自下面的两类中的一个.

H1：μ=μ1

H2：μ=μ2

其中，μ1和μ2不相同且未知，H1，H2就分别代表不同类别的信号，即X可能全部来自于H1，也可能全部来自于H2，或二者皆有.信号x中含有未知参数均值μ，且均值的先验信息未知，这有别于李晓荣老师那里的假设。

三、优化方案的推导

对这类问题，我们采用的是类似李晓荣老师采取的联合贝叶斯检测估计方法，但在李老师的方法里，μ的分布信息必须已知，而在我们这里μ的分布信息未知，我们也没有查到文献做了这方面的研究.详细推导如下：

首先将观测空间Y做划分，划分为D1与D2，D1∪D2=фэD1∪D2=Y用对应的观测y去估计信号x，即

这里可以看出D1与μi是相互有关系的，故不能分开求。

四、性能评估

我们采用如下的距离来测量上述分类估计的效果：

（4）判别更新：基于2、3，用（3）式做出判别{D1}t；

（5）停止条件：比较{C}t与{C}t-1的大小，当差值小于一定范围时，停止更新，

输出结果，否则返回2、3、4步；

（6）性能评估：计算（4）的值，观察估计的最终结果。

六、实验模拟

在我们的模拟实例中，实验样本X的次序随机安排，运行了M=10000次的Monte-Carlo模拟，其他相关参数的取值如下：

其中表示分类的错误率.

从上面的表格可以看出，βij的取值对实验的结果的影响很大，在本例中，由于选的两类模拟数据一样多，当β11和β22的取值一样时，如都是上面的4，不管是从分类错误率pex（0.0750）和距离D（x， ）（0.0035）大小来看，模拟效果都比较好，但是当β11和β12的取值相差很大时，如β11=100，β22=4，则pex=0.1918，D（x， ）=0.0074，可见实验效果比较差。当β11分别是10，50时，D（x， ）分别为0，0034，0.0035，都比较小，相差不大，但是β11=10的pex比β11=50的pex小很多，可见前者效果比较好。当β11取1000时，从上面的表格看出，此时全部判为了H2，有一半的误判，这是我们不愿意的。因此我们就必须认真对待估计代价值βij的取值情况，这方面的参考价值主要取决于先前的先验信息或数据分析师的经验积累来把握，这里就不详细讨论了。