傅里叶分析的发展与现状

摘 要： 在计算机技术的支持下傅里叶分析得到了充分的发展。离散傅里叶变换（DFT）奠定了工程应用的基础； 快速傅里叶变换（FFT）使其进入到了实用阶段。21世纪以来，高速微处理器使得速度不再是制约傅里叶分析的主要因素。由于高端科技对高准确度分析的需求，解决非同步采样条件下频谱误差问题成了现阶段最为迫切的任务。已有频谱校正成果采用了基本傅里叶理论以外的技术方法，开启了一个以寻求普适性频谱分析方法为目标、DFT后方法为主的发展方向。

关键词： 傅里叶分析； DFT/FFT； DFT频谱校正； 参数估计

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）03?0144?04

Development and current situation of Fourier analysis

ZENG Hai?dong， HAN Feng， LIU Yao?lin

（Collage of Mechanical Engineering， Inner Mongolia University of Technology， Huhhot 010051， China）

Abstract： With the support of computer technology， Fourier analysis has been fully developed. Discrete Fourier transform （DFT） lays the foundation of engineering application. The fast Fourier transform （FFT） lead it to applicable stage. Since 21st century， speed is no longer the main factor restricting the application of Fourier analysis owing to the development of high speed microprocessor. In order to satisfy the requirement of sophisticated techniques for high accuracy analysis， solving spectrum error under asynchronous sampling has become the most urgent task at present. Some techniques beyond the basic Fourier theory have been adopted in current spectrum correction works， which implies a post?DFT developing direction for seeking universal spectrum analysis method.

Keywords： Fourier analysis； DFT/FFT； DFT spectrum correction； parameter estimation

0 引 言

傅里叶分析已有200多年的历史，目前FFT及其校正算法在工程实际中仍在广泛应用，展现了其不竭的生命力。从傅里叶分析的概念提出，理论完善到面向工程应用以及各种频谱分析技术的出现，每一次里程碑式的跨越，都以计算机技术的发展为推动力。傅里叶分析方法发展到目前已经在信号处理、图像处理、电力和通信等领域获得极为广泛的应用，但是由于傅里叶频谱分析理论一直无法解决非同步采样信号的分析问题，这就迫使该领域的学者必须以一个新的角度来审视这一现状，尝试傅氏理论体系以外的技术方法，只有这样才能为今后离散傅里叶分析方法注入新的活力，改变当前高准确度频谱分析方法进展缓慢的状态。

1 傅里叶分析理论的确立

傅里叶（J.Fourier，1768?1830），法国数学家和物理学家，早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，其中最大的创新点是用正弦曲线来描述温度的分布。文中有个具有争议性的决断：任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这篇论文的著名数学家拉格朗日，认为这种方法无法表示带有棱角的信号，因此否定了傅里叶的工作。

1811年傅里叶又提交了经过修改的论文，推导出了著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数这一论断。傅里叶级数、傅里叶变换理论均由此创立。1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名[1]。

2 离散傅里叶分析方法的提出

DFT的提出是傅里叶分析发展的第一个里程碑，它使得有限长的离散信号可以被变换到频域处理。DFT经历了漫长的理论研究阶段，主要由两个原因造成：DFT算法计算量较大；当时的硬件技术水平有限，无法完成如此大规模的计算。电子计算机的出现及其发展有力地推动了DFT算法的工程应用。本文将结合电子计算机的发展所经历的四个时期来概括DFT的发展过程。

从硬件上划分，电子计算机的发展大概经历了电子管、晶体管、集成电路和大规模集成电路四个时代[2]。

第一台电子计算机诞生于在二战期间，于1946年问世，当时取名为ENIAC电子数字积分器和计算机[3]，整机约有18 000个电子管，这个占地面积达170 m2、重达30 t的庞然大物，进行加法运算需要0.2 ms，乘法运算需要0.8 ms。若不计计算机数据存取过程消耗的时间，单从运算所消耗的时间来衡量，做一次1 024点的DFT运算就需要一个多小时。并且由于第一代计算机的特点是，操作指令是为特定任务而编制的二进制机器码，每种机器有各自不同的机器语言， DFT运算的机器化根本无法实现。当时的计算机主要用于科学研究和工程计算，功能的单一性使得在当时的硬件条件下DFT应用可望而不可即。

第二代电子计算机的内部元件使用的是晶体管。1954年美国贝尔实验室研制出第一台晶体管计算机TRADIC，该机装有大约800只晶体管，进行加法计算降低到了15 μs。晶体管比电子管小得多，处理更迅速、更可靠。此时的电子计算机主要用于商业、大学教学和政府机关。这个时期出现了一些高级计算机语言，以单词、语句和数学公式代替了二进制机器码，使计算机编程更容易。计算机语言的高级化是后期DFT算法实现的重要基础。1958年集成电路诞生，更多的元件可以被集成到单一的半导体芯片上。于是，计算机变得更小，功耗更低，速度更快。1953年，美国IBM公司开始批量生产用于科研的大型计算机，从此电子计算机走上了工业生产阶段。1964年4月7日，美国IBM公司研制成世界上第一个采用集成电路的通用计算机系列IBM360，加法平均周期是8 μs，这标志着第三代电子计算机已经成型。不计读取指令消耗的时间，运行一次1 024点DFT至少需要128 s，基本解决了一般的离线应用问题。

3 快速傅里叶算法及其应用

20世纪60年代初，在Garwin的研究中迫切需要解决快速傅里叶变换的问题，而Turkey正在做该方面的研究，他概括地对Garwin介绍了一种方法，实质上就是后来著名的Cooley?Turkey算法，在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根据Turkey的想法编写了第一个FFT算法程序[4]。1965年Cooley、Turkey在Mathematic of Computation 杂志上发表了著名的“An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series” [5]，提出一种快速计算DFT的方法和计算机程序，揭开了FFT发展史上的第一页。该算法使得1 024个点的DFT运算时间降到了原来的[1100，]为傅里叶分析方法赋予了新的生命力，之后被广泛地应用于工程技术领域中，所以FFT是傅里叶分析方法发展的第二个辉煌的里程碑。

在FFT提出时，算法速度依然是制约离散傅里叶变换方法工程应用的主要因素，从FFT的提出到70年代中期，该领域学者依然集中在提高算法速度的一系列研究上，其思路基本延续了FFT算法的思路，主要包括时间轴取基2算法[5]、频域抽取基2算法[6]、基4算法等。

4 频谱校正技术的诞生与演化

在众多该领域研究者致力于算法速度提升的同时，有部分学者注意到DFT在非同步采样时存在误差。以单频信号为例，如果将离散数据序列直接进行频谱分析，其幅值最大误差可达36.4%，相位最大误差高达90°，频率最大误差为±0.5个频率分辨率。于是这部分学者开始了对DFT频谱校正方法的研究：Rife和Vincent在1970年首次提出快速插值傅里叶算法（IFFT），单频信号的幅值校正精度可达10-3，频率精度可达[7]0.001[Δf。]插值法对后续DFT频谱校正理论的发展影响巨大，至今仍然有人在研究其改进型算法，插值法的提出标志着频谱校正方法研究悄悄地拉开帷幕，它是在DFT频谱获得后对其进行处理，即称为DFT后频谱分析方法，这使得离散傅里叶分析方法的分析精度显著提高，使傅里叶分析理论又向前迈了一步。

第四代计算机在70年代初问世，采用大规模集成电路制造。高度的集成化使得计算机的中央处理器和其他主要功能可以集中到同一块集成电路中，这就是人们常说的“微处理器”。1971年英特尔公司研制成第一台微处理器“4004芯片”，将2 300个晶体管集成在面积仅为4.2 mm×3.2 mm的芯片上。从此微处理器的发展进入了快速发展时期。1981年，IBM以Intel8088为CPU的个人计算机问世，开创了今天的“微机”时代。微处理器的问世真正实现了计算机技术向各领域的渗透。计算速度的飞速发展是后续DFT算法由速度研究慢慢转向精度研究的一个重要原因。

在20世纪70年代中期到80年代中期，对提高DFT算法速度的研究达到了一个巅峰，这个时期里主要以Good开创的算法[8]为主导，在该算法的基础上，一维DFT可映射成多维DFT[9]，美国数学家Winograd设计了计算这个多维DFT的方法[10]，也就是现在的Winograd Fourier变换算法（WFTA），这曾对DFT算法研究产生过重大影响，其所需要的乘法次数大约是基2FFT所需乘法次数的[13，]此时基2类算法仍在继续发展，在实践中由于WFTA算法并不像人们预期的那样有效，人们又转回来研究基2类算法，这也是FFT发展的第三个时期。

在这个期间，研究频谱误差校正技术的学者们也越来越多，新的成果陆续发表，1975年，John C. Burges等从事电学领域研究工作的学者采用插值法[11]对加矩形窗的离散化频谱进行了校正， 解决了电学中的离散高次谐波参数的精确测量问题。1983年，Thomas Grandke首次提出加窗插值算法，使频谱分析精度大大提高[12]。对单频信号的分析精度，最大幅值精度小于10-4，频率误差小于[0.000 1Δf，]相位误差小于1°。

从20世纪80年代中期到20世纪90年代中期是个过渡阶段，电子计算机的硬件的发展步入了大规模集成电路时期，1985年，Intel386型芯片可进行多任务处理。微软首次Windows操作系统，这个时期计算机的速度已近发展到每秒以亿次来计了，计算机硬件的发展极大地推动了计算的实时性的实现。此时，离散频谱分析研究领域的研究重点大部分转移到DFT分析的精度上了。除了继承前期经典的加窗插值校正方法外，又有一些新的技术方法产生。1993年丁康和谢明提出了三点卷积法，1994年，谢明、丁康等提出和发展了比值频谱校正法[13]，使内插法系统地成为一种通用的频谱校正方法。20世纪90年代中期，科技进步对计算机发展产生了极大的推动力，运行一次1 024点的FFT需要3 ms。直到今天，运行一次这样的运算所花费的时间已经降到了微秒级。近几年，工业生产对频谱分析精度的要求也越来越高，促使一大批学者致力于频谱误差的研究。研究的信号也越来越丰富，涉及的行业和领域也越来越广。校正信号种类也由以前的单频信号发展到多频信号。1995年刘进明、应怀樵对FFT谱的局部频谱进行细化分析，提出了FFT+FT法[14]，通过该方法对三个频率成分（频率间隔较远）的信号进行校正，频率误差小于0.1%，幅值误差在0.5%左右，相位误差在0.5°之内。1996年Andria和他的同事进一步将内插法扩展到非稳态信号的瞬时估计中。2001年丁康、朱利民等发展了能量重心校正法。2005年吴国乔， 王兆华和黄晓红提出了离散频谱的全相位校正法。2007年丁康、杨志坚和曹翌提出了相位差法+单点FT法。2007年秦树人等提出频域抽取法。2008年陈奎孚等人提出了低频信号的一种DFT频谱校正新方法[15]，在低频信号条件下（周期数从1到8，步长0.02），进行单频信号仿真实验，结果表明幅值误差上限不超过0.3%，相位误差不超过0.3°。这些成果表明DFT后频谱分析方法进入到了百花齐放的阶段，但是由于傅里叶频谱分析理论的缺失而造成的频谱误差问题仍未彻底消除。

5 结 语

为了克服DFT对同步采样的不适应性，在先前的30年里尝试了许多的DFT频谱校正方法，但是仍存在以下问题：

（1） 信号适用性差。多数校正方法仅适用于单频信号，或者间隔较远的多频信号（实际上是将间隔较远的多频信号分别按单频信号校正）；在极端信号条件下（极近频率、极低频率和低信噪比）还存在许多不足[16]。

（2） 无法彻底解决频谱干涉问题[17]]。这也是现有校正方法针对一些特殊信号无法有效使用的主要原因。显然，目前信号频谱分析的水平与现代高端科学技术的要求越来越不适应。面对这一现状，虽然可以通过频谱细化等手段来尽量降低谱线干涉对频谱准确度的影响，但无法从谱线的构成机理上彻底消除该误差，因而制约了高准确度频谱分析技术的发展。

展望未来DFT频谱校正技术的发展，预期最有效的方法是通过建立模型来实现干涉成分的彻底分离，进而给出高准确度的DFT频谱。通过建立解析模型实现理论上的精确求解，达到彻底消除栅栏效应和谱线干涉误差的目的。已有学者开始了这方面的研究[15，18，19]。从工程实用角度来看，这些方法还存在实时性差的问题，但从理论上开启了一个新的研究方向。

总体来讲，DFT后频谱分析理论将得到新的突破，并终将获得能够消除频谱误差、信号适应性强的普适性的频谱分析方法。

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