“用字母表示数”教学研究报告

一、问题

“用字母表示数”是学生在学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用、或表示数）的基础上进行学习的。它是正式学习代数初步知识的起步。在算术里，人们只对一些具体的、个别的数量关系进行研究。引入用字母表示数后，就可以表达、研究具有更普遍意义的数量关系。可以说，学习代数就是从学习用字母表示数开始的。

“用字母表示数”的主要教学目标是：在具体的情境中会用字母表示数。这里的具体情境指数量之间是相并、相差、份总、倍数等关系的现实的问题情境。“会用”包括理解含有字母的式子的意义，会写含有字母的式子和求式子的值。

1.教与学的主要问题

人类从用符号表示特定的数发展到有意识地、系统地用字母表示数，经历了1200多年。如果说个体的成长往往会以某种形式重复人类发展的历程，那么学生对字母表示数的理解或多或少也要经历类似的跌跌撞撞的过程，才能在比较抽象的水平上形成对新的数学对象“一般的数”与它的符号表示的认识。而我们面临的最大的问题是：对小学生来说，用字母表示数是比较抽象的。他们往往不能自觉地将字母视为广义的数，更不习惯将（a+30）这样含有字母的式子视为一个量，而常会认为这是一个式子，不是结果。

2.对问题的分析

学生的问题突出而明显，是因为学生在学习中要经历如下的过程——

（1）确定——不确定

据英国CSMS小组的研究，问n+5与4相加是多少时，68%的英国14岁学生能回答n+9。但是回答3n与4相加是多少时，就发生困难（仅有36%的学生回答正确）。可以看出，从学生的角度来看，他们认知和运算的数是确定的，用字母表示的数是不确定的，也因此用字母表示数以及进行运算是数学学习的一次飞跃。在此节内容的教学中，我们要梳理学生已有的用各种符号或字母表示数的经验，让学生体会到用字母表示数的不确定性，具体体现在以下几方面。①字母可以表示一个未知的数。如，2+a=5，a =（ ）。②字母可以表示一般的数。如用字母表示乘法交换律。③字母可以表示变化的数。如，n只青蛙n张嘴。

（2）具体——抽象

学生都能够计算3+4=7，可是对于a+b=？他们会一脸茫然。3+4=7表示两个数3和4的加法运算，7是运算的结果，这是一个具体的事实。而a+b=？这是两个抽象的数的运算，那么它们相加的结果也不可能是一个具体的数。教材编写中一般也让学生经历从具体到抽象的过程。如人教版教材中例4，用一个式子简明地表示出任何一年爸爸的年龄，就是一个从具体到抽象的过程。我们不仅要用一个抽象的字母表示数，还要用一个抽象的含有字母的式子表示数。学生要真正理解和掌握这些知识需要一个过程。

针对学生的问题，我们不禁思考：学生在用字母或者含有字母的式子表示数量时，是否理解了这样表示的意义？是否明了字母表示数的一般性特点？

二、实践

1.针对从确定的数逐步过渡到不确定的数

片段目标：唤醒学生用字母表述题意的意识，引导学生从数走向字母。

师：老师送大家一首好听的儿歌，可以自由地大声读一读。

多媒体出示：

儿歌《数青蛙》

一只青蛙一张嘴，

两只青蛙两张嘴，

三只青蛙三张嘴，

……

师：请同学们继续读下去。

师：怎么不读了？

生：读不完。

师：那你们能不能想个办法把这首儿歌读完？

多媒体出示：请用一个“数”概括，把儿歌读完。

学生活动。

【设计意图】只有有需要，才能有创造。学生在活动中会唤醒已有的用字母表示运算定律的经验，想到可以用字母来表示。通过加了引号的数，向孩子们渗透字母表示数的概念。

生1：a只青蛙a张嘴。

生2：x只青蛙x张嘴。

生3：n只青蛙n张嘴。

师：真够厉害。你们都把这首儿歌读完了。

师：你们想的是什么办法呢？

生：用字母表示。

师：很好。那这些字母表示的是什么呢？

生：青蛙的只数，嘴的张数。

师：那也就是说，这些字母是用来表示青蛙的只数和嘴的张数的。（在字母的下面板书：青蛙的只数、嘴的张数）

师：看样子，我们可以用字母来表示数。（板书：字母表示数）

师：这里的a可以表示哪些数呢？

生1：可以是1，2，3，4，5…

生2：可以是所有的整数。

生3：可以是所有的自然数。

师：以前我们只学习了用像1、2、3这样的数表示青蛙的只数，今天我们还学会了可以用a这样的“数”来表示青蛙的只数。只是1、2、3这样的数表示的是确定的只数，而a这样的“数”表示的是不确定的只数。

师：你还见过哪些用字母表示数的例子？

学生说出了用字母表示长方形周长、加法交换律等。

【设计意图】孩子能想到可以用字母表示，但是并不等同于他们理解了他们是在用字母表示数。只有通过老师的引导和强化，孩子才能体会到这里的字母同样是在表示数量。

多媒体出示：s=a×b。

师：这里的每一个字母都用来表示一些特定的未知数。这个算式就表示两个数a和b相乘，它们乘得的积用s表示。所以，就像数与数之间可以进行计算一样，字母和字母之间也可以进行计算。

多媒体出示：

a+a+a+a+a=

a+b-b=

3×x+5×x=

学生先独立思考，再小组合作。

师：看样子，不管是1、2、3这样确定的数，还是a，x，n这样不确定的数，都可以根据四则运算的规则以及运算定律进行计算。所不同的是，确定的数得到了确定的结果，如3+5一定等于8。

【设计意图】字母表示数的内涵是“未知数的符号x可以和数一样进行四则运算”。英国CSMS小组的调查中，问n+5的和与4相乘是多少，只有17%的学生写出4（n+5）或4n+20。字母和数的混合运算，需要循序渐进地帮助孩子突破。

2.针对从具体的数逐步过渡到抽象的数

师：今天我们的学习继续从《数青蛙》开始。

多媒体出示：

儿歌《数青蛙》

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；

……

师：你们发现了一种什么样的规律？能不能同样想个办法，把这首儿歌读完？请试着用含有字母的式子编写一句儿歌，编完后在小组里交流。

生1：a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿。

生2：x只青蛙x张嘴，2x只眼睛4x条腿。

生3：a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛a×4条腿。

生4：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

师：真够厉害！大家觉得哪种编法既简洁又合理？

生5：我觉得第一种编法会让人误会青蛙的只数、嘴的张数、腿的条数都一样多。

生6：第四种编法用b、c表示眼睛的只数和腿的条数以后，就看不出它们与青蛙只数之间的关系了。

师：你是说这样的编写方法没有反映出儿歌中的数量关系，所以不太好。这里的b、c分别表示什么？

生7：b表示了a×2，c表示了a×4。

讨论：a×2和a×4分别表示什么？

生8：a×2和a×4分别表示眼睛的只数和腿的条数。

生9：a×2表示如果有a只青蛙，那么就会有a×2只眼睛。

生10：一只青蛙有两只眼睛，所以a只青蛙就会有a×2只眼睛，a×2表示的是青蛙眼睛的只数。

师：如果a=5，那么a×2会是多少？如果a=10，那么a×2又会是多少？

师：一旦所表示的数量是一个确定的数，a×2和a×4所表示的数量也会是一个确定的数。

师：看样子，我们不仅可以用一个字母来表示数，有时像a×2这样的含有字母的式子也可以表示一个数。在这里，a×2表示的就是眼睛的只数，a×4表示的就是腿的条数。

媒体出示：

用含有字母的式子表示。

正方形的边长是acm，它的周长是（ ）cm。

车上原来有x人，下去5人，现在有（ ）人。

我国青少年（7～17岁）在1980年的平均身高为xcm，到2000年平均身高增长6cm，2000年的平均身高是（ ）cm。

有m个作业本，平均分给6个同学，每个同学分（ ）个。

【设计意图】含有字母的式子不仅可以表示数量之间的关系，也可以表示一个数量，是学生理解的难点。因此，我们试图分为两个层次来安排教学活动，先让学生明晰含有字母的式子也可以表示数量。并且让学生知道，用含有字母的式子表示数量时，一样可以应用四则运算的意义列出算式。

师：如果把10岁作为同学们的年龄，老师比同学们大26岁，说说当你几岁时，老师多少岁，并把算式写下来。

同学们的岁数 老师的岁数

1 1+26

8 8+26

10 10+26

20 20+26

50 50+26

师：大家能不能想个办法，用一个式子概括所有同学的想法，表示出同学们任意岁数时，老师那年的岁数。

生1：a+26。

生2：x+26。

生3：a+26=b。

生4：n+26。

师：同学们真能干，想出了那么多办法。请大家观察一下，a+26、x+26、n+26这三个式子，有没有本质上的区别？

生5：没有本质上的区别，这里的a、x、n都可以用来表示任意一个数。

师：a+26=b这个式子怎么理解呢？

生6：a表示同学们任意的岁数，26是老师和同学们相差的岁数，b就是老师的岁数。

生7：a表示同学们任意岁数时，老师的岁数为a+26，b表示的也是老师的岁数。

师：对啊，同学们的岁数是变化的，我们可用字母a表示，而老师比同学们大26岁是不变的，a+26这个式子已经表示出了老师的岁数。

师：当然，我们既然可以用字母a表示同学们的任意岁数，那也可以用字母b表示老师的任意岁数，那用a+26表示老师岁数和用b表示有什么优越性呢？

生8：用a+26表示老师岁数时，我们可以清楚地知道老师比我们大26岁。

师：是啊，像a+26这个式子，不仅表示出老师的岁数，也表示出了师生的岁数关系。

师：看样子，一个含有字母的式子，它所表示的意义是双重的，既可以表示一个数量，如用a+26表示老师的岁数，也可以表示数量之间的关系，如a+26可以看出老师比同学们大26岁。（板书：表示数量，表示数量之间的关系）

多媒体出示：

说出下面式子表示的意思。（先独立思考，再同伴交流）

原来有n元，那n+2表示什么意思？

人的身高早晚可能会相差2cm，在早上最高，晚上最矮，一个人早上身高bcm，b-2表示什么？

在月球上，人能举起物体的质量是地面上的6倍，如果在地球上能举起x千克，6x表示什么？

师：每一个含有字母的式子，不仅能表示一个数量，也能表示数量之间的相加、相减、倍数等关系。

思考并讨论：一个加数是a，另一个加数是b，a+b表示什么？

我们知道3+4=7，那么a+b=？

【设计意图】教师通过生活中的实例，引出用字母表示数，体现了用字母表示数的合理性和可行性，也让学生体会到用字母不仅可以表示数，还可以表示数量之间的关系。字母可以看成是对学生的思维方式的一种挑战，它的简便和优越性会使学生感到惊讶。

三、讨论

从具体的数到用字母表示的数是人们在认识现实世界数量关系过程中的一个飞跃，标志着数学知识从算术到代数的过渡。

1.早期孕伏，逐步渗透

现行的小学数学教材都注意到把“用字母表示数”这一知识进行早期孕伏，逐步渗透。在低年级结合数与计算等教学内容编排了各种用符号表示数的算式，如6+（ ）=8，32÷=8，20+（ ）

2.分散难点，逐个突破

具体到这一章节的教学时，要注意：

（1）做好从具体到抽象的引导，从特殊到一般的概括。我们要从学生熟悉的不含字母的数引出用字母表示的数，从学生熟悉的算式引出含有字母的式子。要切实引导学生经历由具体的数到抽象的数，由具体的算式到含有字母的式子的学习过程，体会用字母表示数的抽象性和概括性。

（2）指导学生正确书写含有字母的式子，特别是含有字母的乘法算式。掌握用字母表示数的规则：在同一个问题中，相同的字母表示相同的数，不同的数必须用不同的字母表示。

（3）加强互译训练。将日常语言表述的规律与含有字母的式子进行互译，将文字或语言表述的数量关系改写成含有字母的等式等，以加深对用字母表示的数学式子的意义的理解，提高学生用字母表示数或数量关系的能力。

（4）加强式的运算。算术是数的运算，代数是式的运算。这是一个根本的区别，是学生从算术走向代数的一次飞跃过程。循序渐进地进行式的运算，让它像数的运算一样成为一种思维习惯，那么学生用字母表示数也就会成为习惯。先理解再成为习惯，还是先成为习惯再理解，不同的学生有不同的效果，不过最终的目标都一样。

我们心中也不免忐忑：基于孩子的年龄特征，对于一部分孩子而言，我们只能把一些概念强加给他们，可是这样的教学是否遵循教育教学的一些规律？不过，我们始终相信：教育是一个循序渐进的过程。我们将会不断地孕伏、巩固和提高。

（执笔：钟东平、张朝明、蔡艳华、蒋群）

研究团队简介：钟东平数学工作室成立于2012年。该工作室以钟东平为首席名师，以朱晖、张朝明、肖萍、唐艳芳、黄晶为名师成员，以蔡艳华等20人为学员，组成34人的研究团队，聘请的顾问有：《湖南教育》编辑部申建春、长沙市教科院小学数学教研员张新春、雨花区教科中心副主任黄生英等。

自成立以来，该工作室一直致力于“小学数学基于学生基本活动经验的积极课堂教学”实践研究，骨干成员先后参加了多次教学研讨活动以及学习交流。名师和学员团队在湖南第一师范学院国培班开出研讨课，并送课到娄底、株洲等地。工作室期望通过三年的时间，培养一批课题研究与课堂教学的骨干教师。