第6讲 幂函数与函数图象

考情分析

图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.在图象变换和方程零点中经常涉及图象问题，是高考热点题型，通常直接考查为一个小题5分，也会在其它题目中用到图象，分值就更多.预计高考中还会加大对图象的考查力度.对于幂函数的考查主要是其定义和常见的几种幂函数图象和性质.

命题特点

纵观近几年高考题，主要有以下几种题型：（1）知图选式和知式选图，图象变换.（2）基本初等函数的图象特征和图象变换.（3）利用数形结合解决方程根的个数问题和求参数范围问题.（4）幂函数定义及y=x，y=[x12]，y=x2，y=x-1，y=x3的图象和基本性质.

1. 知图选式和知式选图：这种题要求根据图象抓本质体现函数关系，根据式子和函数性质确定图象.

例1 （1）函数[f（x）=x-12]的大致图象是 （ ）

[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x]

A B C D

（2）函数[y=cos6x2x-2-x]的图象大致为 （ ）

[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [A][B][C][D]

（3）函数f（x）=axm（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是 （ ）

[y][x] [O][0.5][0.5][1]

A. m=1，n=1 B. m=1，n=2

C. m=2，n=1 D. m=3，n=1

解析 （1）简单考查幂函数的图形，可直接选出答案.

（2）函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令[y=0]得[cos6x=0]，所以[6x=π2+kπ]，[x=π12+k6π]，函数零点有无穷多个，排除C项，且[y]轴右侧第一个零点为[（π12，0）]，又函数[y=2x-2-x]为增函数，当[00]，所以函数[y=cos6x2x-2-x>0]，排除B项，选D.

（3）本题由图选式，考查导数在研究函数单调性中的应用，代入验证.当m=1，n=2时，通过求导得到单调性和最值与图象相符.

答案 （1）A （2）D （3）B

点拨 由解析式选函数图象除了要熟悉基本初等函数图象特征外，还要从函数的性质上加以分析，诸如单调性、奇偶性、对称性、与坐标轴的交点等，都是我们解题的重要手段.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复.

2. 通过图象变换作图：这部分题型主要由熟悉的初等函数图象和图象变换规律作函数图象.

例2 画出下列函数的图象：

（1） y=x2-2x[，x>1；]

（2） f（x）=[1x；]

（3） y=x|2-x|.

解析 （1）[x>1]，x1，图象是两段曲线，如图①.

（2） [fx=1x，x>0，-1x，x

（3） y=x|2-x|=[x2-2x，x≥2，-x2+2x，x

[O][y][x] [O][y][x]

① ②

[O][y][x]

③

点拨 作图一般有两种方法：描点法、图象变换法.特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.

备考指南

1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.

2. 熟悉图象变换的基本规律，如平移变换、对称变换、翻折变换等.

3. 能有效实现形与数的相互转化.

限时训练

1. 如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象. 已知n取±2，±[12]四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 （ ）

[y][x][O][1][1][C1][C2][C3][C4]

A. -2，-[12]，[12]，2 B. 2，[12]，-[12]，-2

C. -[12]，-2，2，[12] D. 2，[12]，-2，-[12]

2. 若函数y=f（x）的图象如图所示，则y=-f（x+1）的图象大致为 （ ）

[1] [y][x][O]

[y][x][O][1] [y][x][O][-1] [-2] [A][B]

[C][D] [1][2] [y][x][O] [y][x][O][1][-1]

3. 已知函数f（x）=kax-a-x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的大致图象是

（ ）

[y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1] [y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1]

A B C D

4. 当a≠0时，y=ax+b与y=（ba）x的图象大致是 （ ）

[y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [A][B][C][D]

5. 已知f（x）= [x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，]则函数g（x）=f（x）-ex的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

6.函数[y=x2-2sinx]的图象大致是 （ ）

[O][y][x] [O][y][x]

A B

[O][y][x] [O][y]

C D

7. 已知函数f（x）=[4x+2-1]的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）共有 （ ）

A. 2对 B. 5对

C. 6对 D. 无数对

8. 设a是方程[1x]-log2x=0的实数根，则有 （ ）

A. a

C. 02

9. 已知函数f（x）=[1ex]-tanx，[-π2

A. 大于1 B. 大于0

C. 小于0 D. 不大于0

10. 如图，正方形ABCD的顶点A[0，22]，B[22，0]，顶点C，D位于第一象限，直线l：x=t（[0≤t≤2]）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数S=f（t）的图象大致是 （ ）

[y][x][O] [A][D][C][B][l] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O]

A B C D

11. 函数y=[x-2x+2]的图象关于 对称.

12. 设函数f（x）=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为 .

13. 函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可以找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得[f（x1）x1=][f（x2）x2=…=f（xn）xn]，则n的取值集合是 .

[y][x][O][a][b]

14. 函数y=[11-x]的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 .

15. 已知函数f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有四个不相等的实根}.

16. 设函数f（x）=x+[1x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的图象为C1，C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，C2对应的函数为g（x）.

（1）求函数y=g（x）的解析式，并确定其定义域；

（2）若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.

17. 设函数f（x）=[1，1≤x≤2，x-1，2

（1）求函数h（a）的解析式；

（2）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值.

18. 已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0.

（1） 求g（x）的解析式；

（2） 设函数G（x）= [fx，x≤0，gx，x>0，]若方程G（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.