第25讲 空间几何体

考情分析

空间几何体是几何学的重要组成部分，它由空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积三部分组成，是高考中立体几何必考的部分.统计表明，各地高考试卷都至少有1～2道小题，甚至在解答题中也会有所涉及.分值约在15分左右，一般为基础过关题.从考查内容上看，空间几何体的结构常常在命题判断中考查，有时也渗透在解答题中考查某个几何体的特征.直观图常常与三视图同时考查，由几何体的直观图确定三视图，或由几何体的三视图确定对应的直观图.几何体的表面积、体积常与三视图相结合与空间线面关系相结合以小题或者作为解答题中的某一问来考查.同时几何体的展开与折叠问题和几何体中的最值问题也是常考内容.

命题特点

空间几何体在近几年的高考命题中有以下特点：①空间几何体的结构特征考查依旧难度不大，以概念区分为主，较少单独出题，却贯穿立几题的始终，主要考查对空间几何体结构特征的整体把握.②空间几何体的三视图、直观图的考查几乎必考，以选择题、填空题为主， 一般难度不大，属于基础题，但对学生空间想象的能力在逐步提高，难度略微加大，更多倾向于组合体的考查.③对几何体体积、面积的考查更加普遍，常与三视图结合，重点考查简单的组合体的体积和表面积的计算，对识图能力、公式的记忆和计算能力都有较高的要求.

纵观近两年的高考试卷中的空间几何体（结构、三视图、表面积、体积）题，稳中有升，稳中求变，对学生的观察能力和空间想象能力，提出了更高的要求.

1. 空间几何体的结构特征重理解，重积累

空间几何体的结构特征注重常见柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征的考查，通常以柱体与锥体的识别与辨识居多，有时也会涉及到理解结构特征的推理运算.

例1 若四面体[ABCD]的三组对棱分别相等，即[AB=CD]，[AC=BD]，[AD=BC]，则________（写出所有正确结论的编号）.

①四面体[ABCD]每组对棱相互垂直；②四面体[ABCD]每个面的面积相等；③从四面体[ABCD]每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体[ABCD]每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体[ABCD]每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. [A][D] [C][B]

解析 如图，把四面体[ABCD]放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知，①错误；由长方体中[ABC≌ABD≌][DCB≌DCA]，可知四面体[ABCD]每个面的面积相等，同时四面体[ABCD]中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180°，故②正确，③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④正确；从四面体[ABCD]每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故⑤正确.

答案 ②④⑤

点拨 真正把握空间几何体的结构特征，需要准确理解几何体的定义，几种几何体（如正三棱锥和正四面体，正四棱柱和正方体等）的概念容易混淆，要注意它们定义的区别.

2. 三视图和直观图及表面积、体积重转化，重计算

例2 （1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）

[3] [2] [3] [俯视图] [10][4] [正（主）视图] [8][侧（左）视图]

A.180 B.200 C.220 D.240

（2）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为[V1]，[V2]，[V3]，[V4]，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 （ ）

[4] [4] [1] [2] [2] [1] [2][正视图][侧视图] [俯视图]

A.[V1

C.[V2

解析 （1）该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为[12]（2+8）×4×2=40.四个侧面的面积和为（2+8+5×2）×10=200，所以该直四棱柱的表面积为S=40+200=240，故选D.

（2）从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为

[V1=13π（22+12+2×1）=7π3]，[V2=2π，][V3=23=8]，

[V4=13（16+4+16×4）=283].

所以[V2

点拨 （1）解决三视图与几何体间的转化问题时，根据提示观测位置确定三视图时，其实质是正投影，注意三视图中实虚线的含义.由几何体的三视图来判断原物体形状时要明确三个视图各自的含义，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查.

（2）根据三视图判断出几何体的形状以及量的关系，根据面积公式、体积公式求出几何体的体积，对于组合体的表面积要注意重合部分的处理.

3. 几何体中的最值问题，及展开与折叠问题重空间与平面的转化，重知识点的交汇

例3 一块边长为10cm的正方形铁片按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点[P]为顶点，加工成一个如图2所示正四棱锥形容器.试建立容器的容积[V]与[x]的函数关系式.

[5][10]

解析 如图3在[RtPOE]中，[PE=5cm，][OE=12xcm，] [PO=25-14x2].

于是[V=13x225-14x2]，且定义域为[x0

点拨 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形（折前的平面图形和折叠后的空间图形）各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.

备考指南

（1）要把握基础知识.在复习时，要弄清常见几何体柱、锥、台、球的几何特征与区别；明确三视图中正视图、俯视图、侧视图的含义，用斜二测画法画直观图的画法；以及柱、锥、台、球体的表面积和体积的计算公式的算法.

（2）重点掌握三视图与直观图的转化，及不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解方法.提高空间想象能力，注重空间问题转化为平面问题.

（3）对于综合性强的几何体中的翻折和最值问题，要注意培养转化与化归的思想，还有利用函数求最值解决问题的思想.

限时训练

1. 下列结论正确的是 （ ）

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B. 以正方形的一条对角线为轴旋转一周围成的几何体叫圆锥

C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥

D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

2. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如下图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ）

[3][正视图] [4] [俯视图]

A. [63] B. 8 C. [83] D. 12

3. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

[4][2] [4][2] [正视图] [3] [侧视图] [3] [俯视图]

A.108cm3 B.100cm3

C.92cm3 D.84cm3

4. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系[O-xyz]中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以[zOx]平面为投影面，则得到的正视图可以为 （ ）

[A] [B] [C] [D]

5. 某几何体的三视图如图所示，当[xy]最大时，该几何体的体积为 （ ）

[侧视图] [俯视图] [5][正视图]

A.[27] B.[37] C.[47] D.[67]

6. 如图，已知正方体[ABCD][-A1B1C1D1]上、下底面中心分别为[O1O2]，将正方体绕直线[O1O2]旋转一周，其中由线段[BC1]旋转所得图形是 （ ）

[D][A][B][C] [A] [B] [C] [D]

7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为[V1].直径为4的球的体积为[V2]，则[V1∶V2]= （ ）

[4][主视图] [2] [侧视图] [俯视图]

A. 1[∶]4 B. 1[∶]2 C. 1[∶]1 D. 2[∶]1

8. 已知四棱锥[P-ABCD]的三视图如下图所示，则四棱锥[P-ABCD]的四个侧面中的最大的面积是 （ ）

[3][3][4][正视图] [2][侧视图] [2] [2] [2][俯视图]

A. 3 B. [25] C. 6 D. 8

9. 某几何体的一条棱长为[7]，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为[6]的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为[a]和[b]的线段，则[a+b]的最大值为 （ ）

A. [22] B. [23] C. 4 D. [25]

10. 直三棱柱[ABC-A1B1C1]的六个顶点都在球[O]的球面上，若[AB=BC=1]，[∠ABC=120°]，[AA1=23]，则球[O]的表面积为 （ ）

A.4π B.8π C.16π D.24π

11. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________.

12. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________（填入所有可能的几何体前的编号）.

①三棱锥； ②四棱锥； ③三棱柱；

④四棱柱； ⑤圆锥； ⑥圆柱.

13. 如图，一个圆锥形容器的高为[a]，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为[a2]（如图2-②），则图2-①中的水面高度为__________.

[2-①][2-②]

14. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]棱长为1，点[M]是[BC1]的中点，[P]是[BB1]一动点，则[（AP+MP）2]的最小值为___________.

15. 已知正三棱锥[V-ABC]的主视图、左视图和俯视图如图所示.

（1）画出该三棱锥的直观图；

（2）求出左视图的面积.

[主视图][左视图][俯视图]

16. 如图，在直棱柱[ABC-A′B′C′]中，底面是边长为3的等边三角形，[AA′=4]，[M为AA′]的中点，[P]是[BC]上一点，且[P]沿棱柱侧面经过棱[CC′]到[M]的最短路线长为[29]，设这条最短路线与[CC′]的交点为[N]，求：

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）[PC]与[NC]的长；

（3）三棱锥[C―MNP]的体积.

17. 如图所示，在边长为[5+2]的正方形[ABCD]中，以[A]为圆心画一个扇形，以[O]为圆心画一个圆，[M，N，K]为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆[O]为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.

18. 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，[PD]平面[ABCD，][AB∥DC，][ABAD，][BC=5，][DC=3，][AD=4，][∠PAD=60°].

（1）当正视方向与向量[AD]的方向相同时，画出四棱锥[P-ABCD]的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；

（2）若[M]为[PA]的中点，求证：[DM∥]平面[PBC]；

（3）求三棱锥[D-PBC]的体积.