椭圆弧等误差直线拟合的算法研究

摘 要：为实现椭圆弧的等误差直线拟合，提出了一种基于罗尔定理和二分法的曲线节点计算新算法。该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差。最后，总结了具体的算法流程并进行了轨迹仿真验证。

关键词：等误差拟合；二分法；罗尔定理

引言

本文提出了一种基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法，适用于椭圆弧的拟合节点计算，该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差，避免了高次方程组的求解[1][2]，可广泛应用于数控加工。

1 基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法

图1 椭圆弧等误差直线拟合新算法

如图1所示，在本节讨论中不妨设椭圆弧AB夹角∠AOB≤180°。用直线连接曲线的两个端点A、B，我们称直线AB为曲线的弦。只要该曲线上的点到弦AB的最大距离hmax小于程序设定的允许误差res，就可以用直线段AB来拟合曲线AB。而当hmax大于res时，就需要用二分法在∠AOB范围内搜索拟合点F[3]。

1.1 拟合误差的求解

如图1所示，弦AB斜率为k，椭圆弧的AB段为凹凸性一致的单值区间，由罗尔定理可知，在弧AB上有且仅有一点C，使得过C点的椭圆弧切线斜率与弦AB斜率相等。设过C点的该切线为lc，则线段AB拟合椭圆弧AB的误差为直线lc与直线AB之间的距离。

设A点坐标为A（xa，ya），则直线AB的方程为：

y-ya=k（x-xa） （1）

由椭圆弧AB方程x2/a2+y2/b2=1，得到椭圆上的点C（xc，yc）处切线斜率为：

k=-b2xc/a2yc （2）

可求得切点C的坐标为：

或 （3）

直线lc的方程为：

y-yc=k（x-xc） （4）

可得圆心O到直线lc的距离为：

d1= / （5）

圆心O到直线AB的距离为：

d2=|ya-kxa|/ （6）

于是得到切点C到直线AB的距离，即弦AB的拟合误差为

d=d1-d2= （7）

1.2 二分法拟合的过程

设AB为要求拟合的椭圆弧段，A（xa，ya）为起始点，B（xb，yb）为终止点。在单值拟合区间AB上，弦AB拟合曲线AB的拟合误差hAB往往大于程序设定的允许误差res，这时就需要在∠AOB范围内二分角度迭代求解弦的拟合误差来逐步逼近允许误差res。二分法应用过程如下：

（1）初始化A点坐标为拟合区间起点坐标（xa，ya），B点坐标为拟合区间终点坐标（xb，yb）。A点为当前已知拟合点，动点；B为固定点。

（2）将A点赋值给S1点，B点赋值给S2点。S1，S2点为区间二分迭代时用到的点，为动点。

（3）计算弦AB拟合曲线AB的拟合误差hAB，赋值h=hAB。

（4）比较拟合误差h与允差res的大小：如果h>res，转步骤（5）；如果h>res，则区间终点B作为最终拟合节点，整个拟合过程结束。

（5）二分∠S1OS2，得到与椭圆弧的交点M（xm，ym）。

（6）计算弦AM拟合曲线AM的拟合误差hAM，赋值h=hAM。

（7）比较拟合误差h与允差res的大小：如果h>res，M点赋值给S2；如果h？燮res，M点赋值给S1。

（8）计算|res-h|之值，如果小于或等于指定的误差值，寻找插补点结束，得到新拟合节点F，转步骤（9）；如果大于指定的误差值，返回步骤（5）继续查找。

（9）F赋值给A点，转步骤（2）。

2 轨迹仿真与应用

基于本文算法，以C++ Builder 6.0为开发工具，编程实现椭圆弧等误差直线拟合的仿真。当椭圆圆心为（50，60），半轴长a=320，b=180，起始角度？琢=200°，终止角度？茁=300°，拟合方向为顺圆弧，允许误差res=10时，仿真效果见图2。

图2 椭圆弧等误差直线拟合轨迹仿真

3 结束语

等误差法直线逼近椭圆弧的一般解法需要设定误差圆方程后解高次方程组，确定其唯一解很复杂。本文提出了一种基于罗尔定理与二分法的插补椭圆弧新算法，其思想是求解弦对应的拟合误差来逐步逼近允许误差，体现了正难则反的逆向思维。该算法避免了高次方程组的求解，容易控制插补精度，易于实现程序编制求得插补节点的坐标，在数控加工中有较高的应用价值。

参考文献

[1]于洋，魏娟等.误差直线逼近非圆曲线节点计算新方法[J].组合机床与自动化加工技术，2005（5）：32-33.

[2]赵玉刚，宋现春主编. 数控技术[M].北京：机械工业出版社，2003.

[3]王丽萍，孙国防，季绍坤 .非圆曲线数控编程的等误差圆弧逼近法及其实现 [J]. 现代制造工程，2006（10）：25-28.

作者简介：于光伟（1984-），男，山东青岛平度人，硕士，研究方向为机械制造及自动化。