活用提公因式法分解因式

一般地，我们在分解因式时首先应考虑提取公因式法，这一方法也是“因式分解”这一节的重要内容.为了帮助同学们学好它，本文现对提公因式法分解因式的若干思路进行了归类总结.

思路一：提系数

思路二：提单项式

例2分解因式：8a3b2－12ab3c＋4ab2.

解：原式＝4ab2（2a2－3bc＋1）.

点评：本题在提公因式4ab2后，第三项应为1.同学们在分解这类多项式时，往往容易漏项，将结果误写成4ab2（2a2－3bc），对此应加以重视.

思路三：提多项式

例3分解因式：（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）.

解：原式＝（3a－4b）（7a－8b）－（11a－12b）（7a－8b）＝（7a－8b）（3a－4b－11a＋12b）＝（7a－8b）（－8a＋8b）＝8（7a－8b）（b－a）.

点评：在调整公因式（7a－8b）的顺序时，第二项前面的“＋”号必须变成“－”号，提出公因式后，既要注意合并同类项，又要注意括号内的第一项必须为正，且要分解到不能再分解为止.

思路四：提“一”号

例4分解因式：2ab－a2－b2＋1.

解：原式＝1－（a2－2ab＋b2）＝1－（a－b）2 ＝（1＋a－b）（1－a＋b）.

点评：提“－”号后，将四项式按“一三”项分成两组，有利于适用完全平方公式与平方差公式进行因式分解.

思路五：先变号再提取公因式

例5分解因式：a（x－a）＋b（a－x）－c（x－a）.

解：原式＝a（x－a）－b（x－a）－c（x－a）＝（x－a）（a－b－c）.

点评：本题中的（a－x）与（x－a）互为相反数，提取公因式前要将（a－x）变形为－（x－a），从而便于提取公因式（x－a）.

思路六：先去括号再分组提取公因式

例6分解因式：（ax＋by）2＋（bx－ay）2.

解：原式＝a2x2＋2abxy＋b2y2＋b2x2－2abxy＋a2y2＝a2x2＋b2x2＋b2y2＋a2y2＝x2（a2＋b2）＋ y2（a2＋b2）＝（a2＋b2）（x2＋y2）.

点评：本题中的多项式含有括号，不利于分解，不妨先将含括号的式子展开，再分组分解因式.

思路七：先提单项式再提多项式

例7分解因式：x3－xy2＋x2y－y3.

解：原式＝（x3－xy2）＋（x2y－y3）＝x（x2－y2）＋y（x2－y2）＝（x2－y2）（x＋y）＝（x－y）（x＋y）2.

点评：先分成两组，分别提单项式的公因式，再提出共有的公因式，最后运用平方差公式进行分解.

思路八：先换元再提取公因式

例8分解因式：x4＋2008x2＋2007x＋2008.

解：设2008＝a，则2007＝a－1，

故原式＝x4＋ax2＋（a－1）x＋a＝（x4－x）＋（ax2＋ax＋a）＝x（x－1）（x2＋x＋1）＋a（x2＋x＋1）＝（x2＋x＋1）（x2－x＋2008）.

点评：本题设数字2008为a，则2007为（a－1），从而可将原来的四项式转化为五项式；采用“三二”项分组后，就可以运用提取公因式法与公式法求解了.

思路九：先定主元再提取公因式

例9分解因式：x3－2x2＋（a＋1）x－a.

解：原式＝（x3－2x2＋x）＋（ax－a）＝x（x－1）2＋a（x－1）＝（x－1）（x2－x＋a）.

点评：以次数低的字母a为主元，先整理再提取公因式分解.

思路十：先拆项再提取公因式

例10分解因式：a3＋2a2b＋2ab2＋b3.

解：原式＝（a3＋2a2b＋ab2）＋（ab2＋b3）＝a（a＋b）2＋b2（a＋b）＝（a＋b）（a2＋ab＋b2）.

点评：将单项式2ab2拆成ab2和ab2两项，使原来的四项式转化为五项式，这样按“三二”项分组后，可以运用提取公因式法与公式法求解.

综上所述，同学们要学好用提取公因式法分解因式这一重要内容，必须了解如下两点：

1.两个步骤

第一步，确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；第二步，将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一个因式.

2.四个注意点

（1）若首项为负，一般要提取负号，使括号内的首项系数为正，此时括号内各项都要改变符号；

（2）不能漏项.提出公因式后，每一项都有剩余部分，由它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.需要注意的是，当多项式的某一项与公因式相同时，提取公因式后，括号内剩下的那一项是1，而不是0，如ax2－ax＋a＝a（x2－x＋1），而不是ax2－ax＋a＝a（x2－x）；

（3）最终的结果必须分解到完全不能再分解为止，不能遗漏公因式；

（4）提取公因式后，对每一项剩余的部分，可逆用同底数幂乘法法则来确定.

总之，探究提取公因式法，可以帮助同学们启迪思维，开阔视野，提高解题能力和学习效率.