拓展教材 更好地培养学生探索能力

[摘 要] 拓展教材，挖掘例题和习题潜在的教学功能，不断发展学生的探索性思维，培养学生思维的广阔性与严密性。

[关键词] 精心设计 拓展改造例题 探索创新能力

现行教材中的例题和习题大多是具有完备的条件和固定的答案的传统题型，这对学生掌握一般的数学基础知识和技能是大有裨益的，但却不利于培养学生的探索性思维和创新能力，也不利于培养思维的广阔性和严密性。老师如能在教学中深入挖掘教材中例题和习题潜在的教学功能，精心分析和设计问题，适当地进行改造和拓展，为学生探索性学习提供素材和练习，就能使学生在获取数学知识和基本技能的同时不断发展探索性思维，培养其思维的广阔性与严密性，发展创新性思维。现以义务教育版课程标准实验教科书《数学》九年级下册第72页习题13为例，谈谈我对改造和拓展例题的一些尝试和探索。

【原题】如图1，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余2个顶点P、N分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

该题的求解是容易的，由PN∥BC，得APN∽ABC，利用相似比PN∶BC =AE∶AD，即可得到正方形的边长PN=48mm。

利用此例可建立如下数学模型：若三角形一边长为a，这边上的高为h，则在此边上的三角形内接正方形边长X=。运用该题的解题方法和这个结论，可以解决下列数学问题。

一、将结论进一步拓展

【拓展题1】如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设该矩形的长QM=ymm，宽MN=xmm。（1）如何让用含x的代数式表示y？（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）设矩形PQMN的边QM在AB上，N、P分别在AC、AB上。令ABC的高为AD，且AD、PN相交于E。显然有：AEPN、PN＝QM、MN＝DE。还有：ABC∽APN，PN/BC＝AE/AD，QM/120＝（AD－DE）/80，QM＝（80－MN），y＝（80－x）。

（2）矩形PQMN的面积＝QM×MN＝x（80－x）＝（80x－x2）＝×1600－（1600－80x＋x2）＝3×800－（x－40）2。很明显，当x＝40（mm）时，矩形PQMN的面积取得最大值。此时，QM＝（80－40）＝60（mm）。所以，当矩形PQMN面积最大时，矩形的x和y分别是40mm和60mm，最大面积是2400 mm2。

评注：该题通过对结论的进一步改造，将一道相似型的问题转变为开发性的二次函数问题，体现了数学知识之间的相互联系，很好地培养学生探索分析问题以及综合灵活地应用数学知识解决实际问题的能力和意识。

二、将问题结论隐去

将问题结论隐去，使其指向多样化，为学生提供更为广阔的思维空间，让学生展开合理想象，大胆猜想，积极探索。

【拓展题2】如果一个等边三角形的边长为1m，用它能否完全遮住一个边长为0.463m的正方形呢？请说明理由。

分析：正方形的4个顶点落在三角形边上时，正方形面积最大，见图2。这时可利用相似比求出正方形边长的近似值。设DF=x，又高线AH=，所以，X==2－3≈0.464m＞0.463m。所以，它能盖住边长为0.463m的正方形。

【拓展题3】对于任意的锐角三角形，是否存在面积超过这个三角形面积一半的内接正方形？请说明理由。

分析：如图3，设BC=a，AH=h，正方形的边长为x，则X=。因为a+h≥2，所以x2=≤= ah= SABC。故不存在。

评注：这类几何问题的解法，可以由存在性问题转换为求解题，然后通过推理计算等手段达到解题目的。拓展题2的设计就是通过计算解决否定型存在性问题的一个例子；还可以将题目拓展改造为锐角三角形中内接矩形或内接平行四边形的存在性问题的探索。于，又可以引导学生做进一步的研究和探索，可以发现它们具有的共同结论。

三、改造题目条件

原题中锐角三角形内接正方形是一个重要的题设条件，由于三角形形状的改变，正方形内接方法或内接位置的不同等等，在不同条件下就形成了不同的问题。例如我们可以将题目中的锐角三角形改为直角三角形。

【改造题】 有一直角三角形铁片，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，试设计一种方案用这片直角三角形铁片裁出面积最大的正方形铁片，并求出这时正方形铁片的边长。

分析：要在三角形内裁出面积达到最大的正方形，那么，这个正方形应内接这个三角形，由于这个三角形是直角三角形，因此，正方形有2种内接方式（如图4、图5），于是对这2种情况进行计算，按照所得正方形的边长最大的一种方法进行裁剪就是最佳的设计方案。如图4，设正方形边长为x，求出CH= ，所以，X== ；如图5，设正方形边为y，则y= = 。故应按图5裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为cm。

评注：该题是一道具有实际应用意义的改造题，通过分析、推理构思可能的方案再通过比较、鉴别，筛选出最佳的设计方案。该题虽是比较简单，可能的方案较少，筛选过程较短，但基本上呈现了现实生产中产生最佳方案的基本思路。这对于培养学生的分析、推理、探索和创新能力都是大有裨益的，还可以养成在生活中处处运用数学的良好习惯。

此外，还可以在原题的情境中融入其它的数学知识和方法，使之更具有探索和研究价值（具体实例略），从而培养学生观察、类比、联想、分析、猜测、推理和判断等探索能力。

综上所述，深入挖掘教材，精心设计，对课本中的例题和习题进行科学合理的改造，引导学生进行积极的探索和研究，就能使学生在获取数学知识和基本技能的同时，不断发展探索性思维，也为培养学生思维的广阔性、严密性和创新性提供了更多更好的素材。

[参考文献]

1.张奠宙 戴再平《初中数学应用问题》（上海：华东师范大学出版设 1998）

2.胡兴余《数学应用开放题解法初探》（《中学数学教学》1999.10）

3.郑国莱《初中数学辞海》（上海人民出版社 2000）

（作者单位：福州闽侯淘江中学）