一个基本电路的拓展

摘要：本文抓住了一个基本电路这个电学“牛鼻子”，从静态分析到动态变化、逐步拓展、由浅入深，进行四种变换分析，理清了电压法、电流法、伏安法测电源电动势和内阻的来龙去脉，给出了系统误差分析方法及对电路保护的处理技巧。对更好的把握物理教学的本质有一定的借鉴意义。

关键词：“牛鼻子”；拓展；分析；误差分析

作者简介：尹春军（1975-），男，中学一级，主要研究方向：高中物理教学。

不论是学习还是教学，都要抓住学科精髓，也就是学科的“牛鼻子”。高中物理选修3-1的闭合电路欧姆定律的“牛鼻子”就是一个基本电路（如图1，电压表、电流表看作理想电表），只要“理通”这个电路中涉及的各个物理量之间的关系，就把握了这一节的精髓。下面就具体解析这个“牛鼻子”。

从闭合电路来看：滑动变阻器和电源串联，电源电动势被滑动变阻器和内电阻分担，即：E=UR+Ur，电压表测路端电压，电流表测干路电流，即：I=E/（R+r）。这就弄清了闭合电路欧姆定律的电压分配关系和电流与电压、电阻的关系。这是一个静态分析。

动态分析一：如图1，如果把滑动变阻器触头向右移，问电压表的读数如何变化？我们不难得到

， 进一步变形就可以得到

，可见滑动变阻器触头向右移，外电阻R增大， 也增大。

拓展：以上不仅分析了这个动态变化，也得到了路段电压U和电阻R的函数关系，即： 。对于一个闭合电路而言，如果知道两组U和R的值，就可以求出这个闭合电路电源的电动势E和内阻r。根据这个原理把图1的电路图变形为图2，就变成了电压法测电源电动势和内阻了。

进一步思考一：如何更方便用图像法处理数据呢？我们可以把 变形为 ，根据实验数据作出 和 的函数图像即为一次函数图像（图3），图像的纵坐标截距为 ，斜率为 ，横坐标截距为 ，所以根据图像就很容求出E和r了。

进一步思考二：实验中的电压表实际上不是理想电表，由于电压表的分流导致了实验系统误差。如果考虑电压表的内阻，U和R的函数关系式为： ，那么图3中的纵坐标截距应为 ，斜率应为

，横坐标截距应为 ，从而的出电源电动势和内阻的真实值，即 和 ；而不考虑电压表内阻，根据 得出的是电动势和内阻的测量值，即纵坐标截距为 ，斜率为 ，横坐标截距为 。那么通过对比可见： ， 。

进一步思考三：基于对电路安全的考虑，可对图2的电路图加一保护电阻R0，如图4的甲和乙。对甲图处理数据时需画 和 图像，由图像得到的是电源电动势和内阻的测量值。对图乙处理数据时需画 和 图像，由图像得到的是电源电动势的测量值及电源内阻r及保护电阻R0之和的值。只要知道保护电阻R0就不难得到电源内阻r的测量值。

动态分析二：如前图1，如果把滑动变阻器触头向右移，问电流表的读数如何变化？由闭合电路欧姆定律我们不难得到 ，可见当滑动变阻器触头向右移时，电阻R增大，电流I减小。

拓展：动态分析二中也给出了电流I和电阻R的函数关系，理论上只要知道两组电流和电阻值，就可以求出电源电动势和内阻。根据这个原理，把电路图1改变成电路图5，就是电流法测电源电动势和内阻了。

进一步思考一：在数据处理上也可以采用前述的图像法。为了方便我们需作出 图像（如图6），图像的斜率即为 ，横坐标截距为 ，纵坐标截距为 ，我们很容易测出电源电动势E和内阻r了。

进一步思考二：由于实验时电流表不是理想电表，而是有内阻的，这样由于电流表分流导致出现系统误差。如果考虑电流表的内阻得 ，由此可见：图像（如图6）的斜率应为 ，横坐标截距应为 ，纵坐标截距应为 ，通过比较可得： ，

，不过由于电源内阻较小，内阻测量误差就较大了。当然为了电路的安全，也可以给电路加一个保护电阻。

动态分析三：如前图1，如果把滑动变阻器触头向右移，由前面分析可知路端电压U增加，干路电流I减小，U和I必遵守 。

拓展：根据动态分析三可知只要知道两组U和I就可以测出电源电动势和内阻了，这就是我们非常熟悉的伏安法测电源电动势和内阻。为了减小误差可以采用图像法处理数据：图（图7）中纵坐标截距为E，斜率为 ，横坐标截距为短路电流。

进一步思考：由于电压表和电流表是实际电表，由于自身的分流或分压会导致系统误差，下面就电流表外接（如图8）探讨一下系统误差。

误差分析一 ――计算法

电流表外接的电路如图8所示，由于电压标的分流，测得的电流并不是通过电源的电流，采用这种接法时，电动势和内阻的测量值和真实值之间又有什么关系呢？

设滑动变阻器的滑片在某一位置时电路中的电流表的示数为I1，电压表的示数为U1，改变滑片的位置，电流表中的示数为I2 ，电压表的示数为U2

由闭合电路的欧姆定律得：如果不考虑电表的影响则有 E=U1+I1 r ① E=U2+I2 r ②

解得：

如果考虑电表的影响，设电流表的内阻为RV则有

比较可得： ，测量的内电阻和电动势都比真实的内电阻和电动势小，由于电压表的内阻RV一般比较大，并且U2-U1比较小，所以 很小，它的数值对实验影响小，采用这种接法时，使得内电阻和电动势测量的误差较小，一般采用这种接法测电动势和内电阻。

误差分析二 ――图像法

如图8，闭合电路的欧姆定律U=E-Ir中的I是通过电源的电流，而图8电路由于电压表分流存在系统误差，导致电流表读数（测量值）小于电源的实际输出电流（真实值）。设通过电源电流为 ，电流表读数为 ，电压表内阻为 ，电压表读数为U，电压表分流为 ，由电路结构 ，U越大， 越大，U趋于零时， 也趋于零。它们的关系可用图9表示，由测量数据画出的U-I图角为图象AB。根据修正值，图线上每点电压对应电流的真实值大于测量值，作出修正之后的U-I图线CB。由图象可看出图线AB的纵轴截距（ ）小于图线CB的纵轴截距（ ），图线AB斜率的绝对值（ ）也小于图线CB斜率的绝对值（ ），因此，E、r的测量值均小于真实值。

误差分析三――――等效法

对于 ，产生的相对误差也可以根据等效电源的方法进行定量计算，把变阻器的阻值R看成外电路的电阻，电压表看成内电路的一部分，如图10虚线框所示，由电压表和电源构成等效电源，E、r的测量值即为等效电源的电动势和内阻。

①等效电源内电路为电压表和电源并联，等效内阻 小于电源内阻 ， ，相对误差为 ，所以相对误差很小，满足实验误差允许范围。

②电流表的读数为等效电源的输出电流，外电路断开时a、b两点间电压Uab 即等效电源开路电压为等效电源的电动势，即为电源电动势的测量值。等效电动势 小于电源电动势 ，相对误差为 ，因为 ，所以相对误差很小，也满足实验误差允许范围。

进一步思考二：考虑到电路的安全性，我们也可以采用加一个保护电阻R0，可以采用图11 的甲、乙两种接法。不过乙图测量的内阻值实际上是R0和电源内阻r的和。

动态分析四：如前图1，如果把滑动变阻器触头向右移，由前面分析可知路端电压U增加，干路电流I减小，那么电源的输出功率如何变化呢？设 电源电动势为ε，内阻为r，电源的外电路电阻为 R，则电源的输出功率为： ，可以利用数学上求极值的方法，对式子进行变换，使得分母在一定条件下有最小值，此时得出功率的最大值。当R = r时，输出功率P取极大值： ，此时电源的效率为：η=0.5。那么可以得到当外电阻增大时，电源输出功率先增大后减小（如图12）。

通过以上四种动态变换分析我们可以看出，在物理教学实践过程中巧妙抓住知识的“牛鼻子”，进行合理有效的拓展，往往更能理清知识的脉络，可以更好的帮助学生对知识进行构建，这也许就叫“事半功倍”吧！