安全疏散模型研究

【摘要】学校是人员密集型场所，一旦发生火灾、地震等突发事件时，如果不能快速安全地疏散师生员工，往往容易造成较大的人员伤亡.为加强各级学校的安全管理，确保火灾、地震等突发事件发生时，安全疏散工作能迅速、高效、有序地进行，最大限度地减少人员伤亡和财产损失，维护社会稳定，本文以学校作为研究对象，建立了人员疏散的简易数学模型，同时根据所假设的情形计算了全部人员安全撤离所用的时间，并结合实际，对模型进行了评价，给出了合理化建议.

【关键词】人员疏散；逃生模型；撤离时间；数学模型

一、问题重述

众所周知，学校的教学楼是学校内人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等事件时，教学楼内的人员能否迅速撤离是有关人身安全、社会稳定的大问题.如果在灾害发生时，能有一套系统的逃生模型，将能最大限度地减少伤亡人数.基于此，我们以学校为研究对象，建立数学模型，计算出突发事件发生时人员的撤离时间.

假设某一天，某学校学生正在教室里上课，该学校只有一层，所有教室排成一行，教室分布在走廊的一侧且走廊只允许一列人员通过，并且只有一个出口分布在这排教室的开头或结尾.某天突然发生地震，建立出数学模型，按照某种撤离方案，给出全部人员安全撤离所用的时间，并结合实际，提出合理化的建议.

二、模型假设

1.楼道中无任何障碍物且只考虑一层楼的情形；

2.把靠近出口的教室记为第一教室，依次类推最后一个教室记为第k教室；

3.疏散时各间教室的人员排成一行有序行进；

4.所有人员在移动中速度相等，且始终保持同一速度行进；

5.所有人员在地震发生时反应时间相等；

6.所有人员在逃生过程中人与人间距始终保持一致；

7.把人看成质点，不考虑厚度；

8.所有人员在灾难发生时始终向出口方向移动，不考虑中途返回的情况；

9.不考虑人与人之间的身体素质差异；

10.最后一间教室最后一人跑到出口，逃生才算完成；

11.计算全部人员跑出出口所需的时间.

三、符号说明

Li：第i间教室的长度

ni+1：第i间教室的人数

d：相邻个体间距

v：移动过程中的速度，即逃生速度

t0：灾难发生时反应时间

ti：有i间教室时的安全撤离时间

四、 模型建立及求解

1.一间教室的情形

将第一间教室的（n1+1）个人排成一条人链，已知人与人间隔为d，则人链长度为n1d，B点表示该间教室的出口，A点为楼门出口.现要计算所有人逃离出A点所用的时间，即只需计算人链的最后一个人跑到A处所用的时间.人链第一个人跑过教室的长度为L1，n1d+L1[]v为人链最后一个人跑到A的时间.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.因此一间教室的人全部安全撤离所用的时间为：t1=t0+n1d+L1[]v.

2.两间教室的情形

与一间教室的情形相比，两间教室的情况较复杂，此时需考虑第二间教室的人在B点是否需要等待.

因此分为两种情况：

（1）在B点等待.

（2）在B点不等待.

（1）在B点等待

此时第二间教室的人跑到门口B，第一间教室的人还有没跑出教室的，这样两间教室的人最后可形成一条不间断的人链，人链长度为（n1+n2+1）d.人链第一个人跑过教室的长度为L1.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.此时等价于一间教室有（n1+n2+2）个人，长度L1的情况.由（1）可得：

（2） 在B点不等待

此时第二间教室的人跑到B，第一间教室的人都已跑出教室.此种情况以第二间教室的人为准，与第一间教室逃生无关，故只需计算第二间教室的人跑出A的时间.第二间教室形成的人链长度为n2d.人链第一个人跑过教室的长度为L1+L2.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.由（1）可得：

3.三间教室的情形

三间教室的情况更为复杂，需分别考虑在B，C两点等待和不等待的情况，因此需要分别考虑以下四种情况：

（1）在C点等待，在B点等待.

（2）在C点等待，在B点不等待.

（3）在C点不等待，在B点等待.

（4）在C点不等待，在B点不等待.

下面说明在第（3）种和第（4）种情况下安全逃生的时间相等.

第（4）种情况：在B，C两点不等待

此时第三间教室的人跑到C处，第二间教室的人都已跑出教室，且第二间教室的人跑到B，第一间教室的人都已跑出教室.此时以第三间教室为准，与第一、二间教室逃生情况无关.第三间教室的人所形成的人链长度为n3d，此时转化为一间教室长度为L1+L2+L3的情况.由（1）可得：

第（3）种情况：在C点不等待，在B点等待

在C点不等待，第三间教室的人形成一条人链.我们只需考虑第三间教室的人跑出去的时间即可，人链长度n3d，人链第一个人跑过教室的长度为L1+L2+L3.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.转化为两间屋子的情况，运用（2）可得：

t3=t0+n3d+L1+L2+L3[]v.

综上，（3）（4）两种情况下的逃生时间相等.

下面具体说明各种情况：

（1）在B，C均等待

与两间教室的第（1）个情形的思考方式相似，此时三间教室的所有人员可形成一条人链，由第一间教室的第一个人带领后面的人跑出出口，人链中间没有断开.考虑人链长度为（n1+n2+n3+2）d.人链第一个人跑过教室的长度为L1.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.

（2）在C点等待，在B点不等待

利用两间教室第（2）个情形的思想方法知，此时无需考虑第一间教室的逃生情况，只需计算第二、三间教室的所有人所组成的人链跑出出口的时间.人链长度为（n2+n3+1）d，人链第一个人跑过教室的长度为L1+L2.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.因而有：

（3）在C点不等待

利用两间教室的情形（2）知，以第三间教室为准，只需考虑第三间教室的所有人员跑出出口的时间，即为：

4.推广到k间教室的情形

第m间教室后的（k-m）间教室的人在其上一间教室门口都等待， 第m间教室的人在其上一间教室的门口无需等待，则无需考虑前m-1间教室的人在其上一教室是否等待.即当m∈[1，k].

tk=t0+（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d+L1+…+Lm[]v.

由于人们在前（m-1）间教室门口不等待，所以无需考虑前（m-1）间教室人员的逃生时间，这时后（k-m+1）间教室的所有人可形成一条人链，人链长度为（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d，人链第一个人跑过教室的长度为L1+…+Lm.跑动过程中所用时间（总路程/速度）+反应时间即为所求的安全撤离时间.

tk=t0+（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d+L1+…+Lm[]v.

五、模型的不足

1.该模型过于理想化，在实际生活中很少有这样分布的教室，假如只有一层我们通常不这样建造，而是建造平房，每个班都有出口.因此在现实中教学楼中教室的分布更为复杂，其中涉及多个楼层、多个出口的情形.

2.现实生活中的许多实际因素都被忽略，如人们身体条件的差异、心理素质（逃生过程中中途返回的情况）和楼道宽度可允许多人并排通过等.

六、模型的优化

虽然该模型比较理想化，但是通过该模型的建立，我们可以代入相关数据，计算出撤离时间，并且可以调整班级人数从而缩短逃生时间，优化逃生方案.

我们根据前三间教室的情况，推广到了k间教室.灾难发生时的人员疏散问题是一项重要课题，所以有必要研究安全疏散模型问题，提供合理的逃生方案.我们把理想化模型一般化，基于实际情况，在人多的教学楼中，要设计多个楼道门.同时，学校应该定期组织学生进行疏散演练，让学生熟悉逃生路线，以便在灾难发生时， 能最大限度地减少人员伤亡.学校还可以根据模型来建造教学楼，设计出科学合理的走廊宽度、出口宽度等， 当灾难发生时可以增加疏散队列数， 从而减短整体的逃生时间.

【参考文献】

姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版杜，2011.