构建方程与不等式模型 速解“边进边出”类问题

我们把在定量的基础上，一边增加另一边减少的问题称为“边进边出”问题.

这类试题文字表述长，未知量多，难度大，常作为考试中的高分题.求解这类试题的一般思路是构建方程与不等式模型，并完成模型的解答.

例1某高速公路收费站，有(＞0)辆汽车排队等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票速度也是不变的.若开放一个收费窗口，则需20分钟才可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放2个收费窗口，则需8分钟可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过.若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随时收费通过，请问至少要同时开放几个窗口?

解析：本题有四个基本量，即原有量，单位时间内新增量，单位时间内每个窗口的流出量和收费窗口的个数.

四个量间的基本关系是：

1个窗口20分钟的流出量=原有量+20分钟新增量；(方程)

2个窗口8分钟的流出量=原有量+8分钟新增量；(方程)

个窗口3分钟的流出量≥原有量+3分钟新增量.(不等式)

为此，我们便有如下快捷解法：

设每个窗口每分钟可通过辆车，每分钟车流量为辆，要在3分钟内将排队等候以及后来接上来的汽车全部收费通过，需要个窗口，依题意，得

n≥43/9，的最小整数值为5.即至少需要同时开放5个收费窗口.

评析：求解“边进边出”类试题，设元是基础（四个基本量中未知什么就设什么），建立模型（方程与不等式）是关键.

下面我们利用例1的解题方法再来解析两道例题.

例2经科学研究，地球上的资源可供100亿人生活100年，或80亿人生活300年，假设地球每年新生资源是一样的，那么地球最多可养活多少亿人?

解析：这是一道关系人类生存大计和提高人口素质的情景题.要使人类永远在地球上生存下去，人类每年所需资源不得大于地球每年的新生资源.

设地球原有资源为，每年的新生资源为，每亿人每年用去资源为，地球上最多可养活亿人.则

例3 某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个泄洪闸，可使水位以米/时匀速下降.某汛期上游的洪水在未开泄洪闸时水流以米/时匀速上升，当水库水位过超警戒线米时开始泄洪.

（1）如果打开个水闸泄洪小时，写出此时相对于警戒线的水面高度的代数式.

(2)经测算，如果只打开一个泄洪闸，需30个小时水位才能降至警戒线，如果同时打开2个泄洪闸，需10个小时水位才能降至警戒线，问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?

该水库能在3小时内使水位降至警戒线.

练习

有一泉小池不断有泉水涌出，现要抽干水池，用6台抽水机需4小时；用5台抽水机需5小时，现要在2小时内抽干水池，问至少需要几台抽水机?(答案：11台)

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文.