课题学习“镶嵌”

本文以新课程中的课题学习“镶嵌”这节课为例，探究如何构建探究式的教学模式，发挥教师的主观能动性，创造性地使用教材，培养学生的动手操作能力、综合探究能力。

浙教版七册下第二章《图形和变换》的最后一课，教材上安排了课题学习“镶嵌”的内容，教材给出几幅图片与几个问题。面对新的教学内容“课题学习”，我在深深地思考，如何上好这一节课呢？构建怎样的教学模式，搭造怎样的学习平台，才能上出课题学习的味道。才能让数学中的“课题”学习真正发挥出它的光点。教师应如何发挥教学潜能，创造性地使用教材，让全体学生进入探究的角色，积极参与到课题的学习与探究中去，从而更有效地培养学生动手操作能力与探究创新能力呢？为此，我以《新课程目标》为指导，构建下述的教学模式，“问题情境——实验探究——归纳总结——实践与应用”。

一、创设情境引入课题

出示图片，请你欣赏美丽的图案：壁砖、壁纸、地砖、图案；让学生观察

用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.（板书课题：平面镶嵌）

设计意图：多边形的镶嵌在日常生活中应用很广泛，家庭装修中出现这样图案很多，学生家中也有很多的这样的图案，用这四幅图片来引入，学生即熟悉又亲切，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索多边形的镶嵌创设了条件。

二、设置问题动手操作探索结论

问题一：你能用正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的一种图形镶嵌成平面图形吗？请你想一想，拼一拼，你有什么发现？

操作活动：先让学生想一想，然后拿出准备好正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片分小组开展拼图，在边实践、边思考的基础上，同学之间展开交流讨论。

探究1：如果只允许选择一种正多边形进行平面镶嵌，有哪些正多边形可以做到呢？

活动1：学生分小组用准备好的正多边形进行拼图试验。

结论1：正三角形、正方形和正六边形可以进行平面镶嵌。

问题二：只有以上三种正多边形能够平面镶嵌吗？还有哪些正多边形能单独镶嵌？例如正七边形、正八边形、正九边形、正十边形、正十二边形能单独镶嵌吗？为什么？你有什么结论？

引导学生用学过的多边形内角和的知识进行验证。

同学们通过计算，讨论、交流又发现：其它的正多边形都不能单独镶嵌。理由是：360度除以正多边形的一个内角的度数，若能整除可镶嵌，若不能整除不能镶嵌。

探索结论：同学们通过亲身实践，发现了两个结论：（1）边长相等的正三角形、正方形、正六边形都能单独镶嵌，正五边形不能单独镶嵌；（2）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。各小组将镶嵌的作品向同学们展示，教师边点评，边电脑演示以下几个图片。

设计意图：改变教材直接拿出拼成的图形做法，围绕问题，让学生经历动手实践、观察思考、交流讨论、归纳总结等过程，得出相关结论。学生自觉地运用计算的途径得出一般结论，学生的认知从感性认识上升到理性的认识，这是学生认知中的一个飞跃。加深学生对问题的理解和方法的掌握。即培养了学生实践能力，又培养了学生的探究精神；解决了正多边“镶嵌”的一般问题，顺利地突破教学中的难点。

三、延伸思考拓广探究

问题三：你能用正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的其中两种图形镶嵌成一个平面图案吗？请你试一试。此时同学们的学习热情很高，很想再试试。

操作活动探索结论：四人合作边拼图，边计算，边讨论，边思考，争议激烈。最后四人达成共识。正三角形与正六边形、正三角形与正方形能镶嵌，而正方形与正六边形不能镶嵌。不同的组合可以得到不同的镶嵌效果。

意外发现：同学们通过计算，意外发现：1个正方形与4个正八边形、1个正三角形与3个正十二边形式形、2个正五边形与1个正十边形也能镶嵌。1个正三角形与2个正方形及1个正六边形这三种正多边形也能镶嵌。三种正多边形能镶嵌的还有：正三角形与正十边形与正十五边形；正六边形与正方形与正十二边形。

设计意图：多种多边形的镶嵌是较难的问题，思考时需要有丰富的想象力。本节课的教学让学生边动手，边计算，边讨论，边思考，让同学们争个够，争得明明白白，使问题突然明朗。只要几个正多边形的内角相加能达到3600，就能镶嵌。意外的发现也是让教师获得意外的惊喜。这是合理的教学设计与良好的学习平台所获。也是“独立思考、动手操作、合作交流、自主探索”新的教学模式所获。科学合理的探究方式能更好地培养学生的动手操作能力与探索思考的能力。

四、运用新知探究变式

问题四：能用若干个全等三角形镶嵌成一个平面图案吗？，用若干个全等的四边形能镶嵌成一个平面图形吗？

学生运用上述方法，经过拼图，思考，很快得出结论——能镶嵌。学生拼出的图形都是只有一个公共点的平面。教师接着问：你能拼出一大片的平面图形吗？有些小组说能继续拼，有些小组说不能继续拼，教师继续问：你们的拼图问题出在哪里？应该怎样拼才能继续？小组活动继续展开：有动手拼的，有画图的，有想象思考的，经过激烈讨论争议，总算达成共识。相等的边要拼在一起……

设计意图：问题四是特殊到一般的探索过程，前面的探险究过程只重视角的问题，忽视边长的问题。通过本例探究，引领学生的视角：镶嵌问题即要关注角能否拼成一周角，同时要求边长相等的拼在一起，这样才能镶嵌成一个平面图形。

五、图片欣赏升华课程

介绍荷兰艺术家埃舍尔和他的画作。埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了基本的图案，并用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。

设计意图：通过对一些神奇美丽的镶嵌图案的欣赏，让学生了解，不仅可以运用规则的几何多边形进行镶嵌图案的设计，一些不规则的图形也可以通过几何变换之后，形成令人惊叹的美丽镶嵌图案。同时，让学生学会欣赏，体会数学美的存在。

六、课后作业思维延伸

让学生自己设计一幅平面镶嵌的图案，优秀作品张贴展示。

设计意图：课后思考环节让学生在课后延续课堂上的探究气氛。让学生继续感受数学的魅力。