初速为零的匀变速直线运动的两个比例式的证明与运用

对于初速为零的匀变速直线运动，存在以下比例式：在第n个T和第（n+1）个T内的位移之比为：2n-12n+1.

证明：设初速为零的匀变速直线运动加速度为a，则nT内的位移为

xn=12an2T2（1）

前（n-1）T内的位移为

xn-1=12a（n-1）2T2（2）

则第n个T内的位移为

x=xn-xn-1=12a（2n-1）T2（3）

同理：前（n+1）T内的位移为

xn+1=12a（n+1）2T2（4）

第（n+1）个T内的位移为

x′=xn+1-xn=12a（2n+1）T2（5）

由（3）、（5）联立解得xx′=2n+12n+1（6）

即：对于初速为零的匀变速直线运动，存在以下比例式：在第n个T和第（n+1）个T内的位移之比为：2n-12n+1.即第1T、第2T、第3T、…第nT内的位移之比为：1∶3∶5∶…∶（2n-1）.

另外：初速度为为零的匀变速直线运动中还有一个重要的比例式：1T内、2T内、3T、…、nT内的位移之比为12∶22∶23∶…∶n2，证明略.下面通过几个例题说明这两个比例式在解题中的妙用

例1一观察者站在列车的第一节车厢的前端，列车从静止开始做匀加速直线运动.第一节车厢通过他历时t1=2 s，全部车厢通过他历时t=6 s.设各节车厢长度相等，不计车厢间的距离.求：（1）这列火车共有几节车厢？（2）最后一节车厢车厢通过他历时多少？

常规解法（1）设车厢长度为L，这列火车共有n节车厢，则L=12at21，求得a=2Lt21；

nL=12at2=12・2Lt21・t2=t2t21L，

求得：n=t2t21=6222=9，这列火车共有9节车厢；

（2）8L=12at28=12・2Lt21・t28=t28t21L，求得t8=42 s.所以，最后一节车厢通过此观察者需时Δt=t-t8=0.344 s.

巧用比例式求解：设车厢长度为L，这列火车共有n节车厢，初速为零的匀加速直线运动中1t内、2t内、3t内、…、nt内的位移之比为12∶22∶32∶…∶n2根据题意可列出nL∶L=62∶22，n=9.所以，这列火车共有9节车厢；（2）设前8节车厢通过此观察者需时为t8，则8L∶L=t28∶22，t8=42 s，最后一节车厢通过此观察者需时为Δt=t-t8=0.344 s.

例2从静止开始做匀加速直线运动的物体在第2 s内后13时间里以及第3 s内后13时间里通过的位移分别为s1和s2，则s1∶s2为

A.5∶11B.3∶7C.11∶17D.7∶13

常规解法物体在2 s内通过的位移为l1=12at21=2a，物体在53 s内通过的位移为l2=12at22=2518a，故物体在第2 s内后13时间里通过的位移为s1=l1-l2=1118a，物体在3 s内通过的位移为l3=12at23=92a，物体在83 s内通过的位移为l4=12at24=329a，故物体在第3 s内后13时间里通过的位移为s2=l3-l4=1718a；所以，s1∶s2为11∶17.答案C正确.

巧用比例式求解：

我们取13 s为t，第2 s内后13时间是物体开始运动后的第6个t.第3 s内后13时间是物体开始运动后的第9个t，由于初速度为零的匀加速直线运动中第1个t、第2个t、第3个t、…第n个t内的位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n-1）；所以s1∶s2为（2×6-1）∶（2×9-1）=11∶17.答案C正确.

例3质点做方向不变的匀变速直线运动，加速度不为零.设在连续相等的时间内质点的位移分别为s1和s2，则s1与s2之比可能为

A.1∶1B.2∶5C.2∶1D.4∶1

由于只说明质点做匀变速直线运动，因此质点可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动，s1与s2之比可能小于1，也可能大于1.为方便起见，对于位移之比小于1的匀加速直线运动，我们讨论正过程；对于位移之比大于1的匀减速直线运动，我们讨论逆过程.故我们把答案全改为小数比大数，只讨论匀加速直线运动情况.在初速度为零的匀加速直线运动中，第1个t、第2个t、第3个t、…、第n个t内位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n-1）.若连续相等的时间为最初的两个相等的时间，则位移之比为13，越往后面的两个连续相等的时间的位移之比越接近1.由于25，12均在[13，1]区间内，故s1与s2之比可能为2∶5和1∶2.

这里有个问题，很多学生不理解究竟在哪两个连续相等的时间T内质点的位移s1与s2之比为2∶5；哪两个连续相等的时间T内质点的位移s1与s2之比为1∶2.

解析根据对于初速为零的匀变速直线运动，在第n个T和第（n+1）个T内的位移之比为2n-12n+1，可得2n-12n+1=25，解得n=76，即做初速为零的匀变速直线运动质点在第76T和第136T内的位移s1与s2之比为2∶5.

证明：做初速为零的匀变速直线运动质点在第76T的位移为s1=12a（76T）2-12a（16T）2=4872aT2；

在第136T内的位移为

s2=12a（136T）2-12a（76T）2=12072aT2.

故：s1与s2之比为2∶5，同理对于初速为零的匀变速直线运动，在第n个T和第（n+1）个T内的位移之比为2n-12n+1=12，可得n=32；即做初速为零的匀变速直线运动质点在第32T和第52内的位移s1与s2之比为1∶2；

证明：s1=12a（32T）2-12a（12T）2=aT2，

s2=12a（52T）2-12a（32T）2=2aT2，

即s2∶s1=1∶2.

例4由静止开始做匀加速直线运动的物体第2 s内通过的位移为s，现把第2 s的时间均分为三段，则该物体每段时间内通过的位移之比s1∶s2∶s3为.

解析把第2 s的时间均分为三段，取13 s为t，每个13 s依次为第4、5、6个t，则通过每段时间的位移之比s1∶s2∶s3为

（2×4-1）∶（2×5-1）∶（2×6-1） =7∶9∶11.

例5一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在前4 s内的位移为s，最后4 s内的位移为2s.试求该物体运动的总时间.

解析初速度为零的匀加速直线运动中，第1个t、第2个t、第3个t、…、第n个t内位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n-1）.对于本题前4 s和最后4 s，可得到2ss=2n-11，求得n=1.5，所以，物体运动的总时间为4×1.5 s=6 s.