一道例题引发的思考

例一个质点运动的速度时间图象如图1所示，任意很短时间 内质点的运动可以近似视为匀速运动，该时间内质点的位移即为条形阴影区域的面积，经过累积，图线与坐标轴围成的面积即为质点在相应时间内的位移.利用这种微元累积法我们可以研究许多物理问题，图2是某物理量 随时间变化的图象，此图线与坐标轴所围成的面积，下列说法中正确的是

A.如果y轴表示作用力，则所围成的面积大于该力在相应时间内的冲量

B.如果y轴表示力做功的功率，则所围成的面积小于该力在相应时间内所做的功

C.如果y轴表示流过用电器的电流，则所围成的面积等于在相应时间内流过该用电器的电量

D.如果y轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，则所围成的面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变化量

解析A.如果y轴表示作用力，则围成的面积等于该力在相应时间内的冲量.故A错误.

B.如果y轴表示力做功的功率，则围成的面积等于该力在相应时间内所做的功.故B错误.

C.因q=It，如果y轴表示流过用电器的电流，则围成面积等于在相应时间内流过该用电器的电量.故C正确.

D.如果y轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，则围成的面积等于该磁场在相应时间内磁通.故D错误.

故选C.

那究竟满足什么条件，图形面积所表示的量等于横坐标量与纵坐标量的乘积所对应的值呢？如图3所示，只要满足：z=y・x，图线与坐标轴所围成的面积就等于z吗？

如，P=UI、P=Fv、v=ωr等就不满足.而W=Fx、v=at等就满足.

1条件

若图形面积所表示的量等于横坐标量与纵坐标量的乘积所对应的值，必须满足：①横、纵坐标量与之对应的一个为状态量、一个为过程量.②横坐标量与纵坐标量的乘积得有物理意义.

2归纳

在中学物理范围内，有哪些常用物理量满足：图形面积所表示的量等于横坐标量与纵坐标量的乘积所对应的值？

x=vt、v=at、W=Pt、W=Fx、I=Ft、q=It、Φ=et、E=QU（电容器充电过程中储存的电能E）.

3应用

例1（2013年北京）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作.最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段.

把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx （x为床面下沉的距离，k为常量）.质量m=50 kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10 m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt=2.0 s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1.取重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力的影响.（1）求常量k，并在图3中画出弹力F随x变化的示意图；（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；（3）借助F-x图象可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x1和W的值.

解析（1）床面下沉x0=0.10 m时，

运动员受力平衡mg=kx0，

得k=mgx0=5.0×103 N/m，

F-x图线如图5所示.

（2）运动员从x=0处离开床面，开始腾空，其上升、下落时间相等

hm=12g（Δt2）2=5.0 m.

（3）参考由速度-时间图象求位移的方法，F-x图线下的面积等于弹力做的功，从x处到x=0，弹力做功WT，

WT=12・x・kx=12kx2.

运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，

有12kx21-mg（x0+hm）=0，

得x1=x0+x20+2x0hm=1.1 m.

对整个预备运动，由题设条件以及功和能的关系，有

W+12kx20=mg（hm+x0），

得W=2525 J≈2.5×103 J.

例2（2012年北京）摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米，电梯的简化模型如图6所示，考虑安全舒适、省时等因素，电梯的加速度a随时间t是变化的.已知电梯在t=0时由静止开始上升，a-t图象如图7所示.电梯总质量m=2×103 kg，忽略一切阻力，重力加速度g=10 m/s2.（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；（2）类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图象求位移的方法.请你借鉴此方法对比加速度和速度的定义，根据图7所示a-t图象，求电梯在第1 s内的速度改变量Δv1和第2 s末的速度v2；（3）求电梯以最大速度上升时，拉力做功的功率P，再求0～11 s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W.

解析（1） am=1.0 m/s2，

F1-mg=mam，

解得F1=m（g+am）=2.2×104 N，

mg-F2=mam，

解得F2=m（g-am）=1.8×104 N.

（2）根据a-t图象与坐标轴所围的“面积”表述速度的变化量，且电梯由静止开始上升可知：

电梯在第1 s内的速度改变量Δv1=0.5 m/s，

第2 s末的速度v2=1.5 m/s.

（3）根据a-t图象可知电梯的最大速度为

vm=10 m/s，

电梯以最大速度上升时，拉力

F3=mg=2.0×104 N，

因此P=F3vm=2×105 W.

根据动能定理，0～11 s时间内拉力和重力对电梯所做的总功等于电梯动能的增量，有

W=12mv2m-0=2×105 J.

4结语

高考作为一种选拔性考试，具有很强的综合性.考生除了掌握基本物理概念、物理规律外，还需要掌握一些解题技巧.通过以上策略的运用，可以有效降低试题的难度，快速形成解题思路.避繁就简，提高解题的效率.