Newton迭代法求解高阶微积分方程的误差分析

【摘 要】newton迭代法利用“切线逼近”的办法，在实数域和复数域上近似求解方程。但存在计算精度与求解迭代计算量大的矛盾，本文借助工程实例，分析了Newton迭代法在求解一类高阶微积分方程的误差。

【关键词】高阶微积分方程 Newton迭代法 求解误差

在实际工程应用领域，存在很多复杂的微积分方程，这类微积分方程难以使用初等的解法进行求解，其解析表达式的找出也十分的困难。为此，一般使用数值求解法解决这类复杂的微积分方程。随着电脑技术的发展，高阶微积分方程数值求解方式也得到了一定的发展，该种求解方式能够很好的解决工程技术领域和自然科学领域的复杂方程。就现阶段来看，高阶微积分数值求解方式已经成为数学工作人员研究的重点问题之一。下面就针对一类四阶微积分方程的差分迭代解法进行深入的分析。

一、四阶微积分方程模型的建立

一桁车横梁模型，其中桁车横梁长度为L，在竖直方向的变形位移与载荷可以用下述方程描述[1]：

（1.1）

其中；载荷为桁车横梁自重与承载之和。由桁车的支撑边界，其该方程的初始条件为： 。在式（1.1）中，均为常数，为上的连续非负（或非正）函数，其正负取决于的定义方向。

目前，对此类高阶方程已进行了深入的分析和研究。本文结合有限差分法，利用Newton迭代的求解方法求解该方程。下面将该方程求解转化为对非线性方程的求解[2]：

式（1.5）为一非线性方程。这样就将初始微积分模型的求解转化为求解方程式（1.5）。式（1.5）解的性质取决于函数的性质。

二、Newton迭代法求解方程步骤

一般情况下，对于的解析解的求解很复杂。Newton迭代法在处理非线性方面有着一定的优势，使用牛顿迭代法能够将简化为[3]：

再将代入式（2.1）中，求出。并将和差的绝对值与期望所求精度进行比较，为期望方程所求精度的一个无限小。如果>，那么迭代终止，否则将用代替，转入下一轮继续循环计算。

通俗的说，Newton迭代法其实也就是采用切线逼近的办法求得一个在我们求解公差范围内的一个合理解。求解精度越小，计算结果的精度越高，但迭代次数会增加。

对的两种不同形式的差商，分别定义为Newton法1和Newton法2[5]。

三、Newton迭代法计算高阶方程结果分析

为验证该高阶方程的迭代求解结果并分析其误差，对式（1.1）中的参数取值为：，；令该微积分方程的解为：，则可计算出，再设定求解期望精度=10-8。其计算结果见表1所示：

通过计算结果来看，使用Newton迭代法来求解该类四阶微积分模型时，当迭代次数进行到一定次数后，其结果误差能够控制在期望精度范围内。虽然Newton法1与Newton法2结果稍有差异，但该两种方法均能够在所给误差范围内，且产生的误差并不是由于计算方法导致。Newton迭代法求解借助计算机计算，其求解速度快。能够有效解决工程实际中难获得解析解的问题。

参考文献：

[1] 李有堂. 机械振动理论与应用[M].北京：科学出版社，2012.10

[2] ZHUANG Qing-qu. A Legendre spectral-element method for the one-dimensional fourth-order equations[J].Applied Mathematics and Computation，2011，218（7）：98-99

[3]SAMARSKⅡ A A. The theory of difference schemes[M].New York：Marcel Dekker，2001

[4] 李根. 基于数据的非线性系统稳定性分析[D].武汉：武汉科技大学，2010.

[5] 张军. 数值计算[M].北京：清华大学出版社，2008.07

作者简介：

杨春芝（1969-），女（汉族），辽宁昌图人，副教授，研究方向：数学教育教学研究。