几种判定函数单调性的方法

摘 要：函数的单调性是函数的一种重要性质，是函数学习中的重要与难点知识。本文主要介绍了几种判定函数单调性的方法。

关键词：函数;单调性;判定

在高中函数知识学习中，我们经常需要判定函数的单调性。由于这类题型十分抽象，综合性很强，我们在解题过程中经常难以理解题意，无法掌握数学符号、数学语言间的内在联系。因此，笔者总结了函数学习中几种判定函数单调性的方法，以供参考。

一、利用复合函数判定

定理1：若函数f（x）在区间I1上、g（x）在区间I2上都有单调性，且g（I2）？奂I1，则：

（1）f（x）、g（x）单调性相同时，f[g（x）]在I2上单调递增。

（2）f（x）、g（x）单调性相反时，f[g（x）]在I2上单调递减。

例1 讨论函数y=log0.2（x2-5x+4）的单调性。

解：函数的定义域为（-∞，1）∪（4，+∞），令y=log0.2u，u=x2-5x+4，

y=log0.2u为减函数，u=x2-5x+4在区间（-∞，1）上为减函数，y=log0.2（x2-5x+4）在（-∞，1）上为增函数。

又u=x2-5x+4在区间（4，+∞）上为增函数，

y=log0.2（x2-5x+4）在（4，+∞）上为减函数。

复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础。若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益。我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性。

二、利用反函数关系判定

我们知道，一个函数若为严格增（或减）函数，则其反函数也为严格增（或减）函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。

定理2：若函数y=f（x）与y=g（x）互为反函数，且y=f（x）在区间I上为单调函数，那么y=g（x）在区间I上也为单调函数。

例2 讨论反余弦函数y=arccosx的单调性。

解：余弦函数y=cosx在区间[0，π]上的反函数为y=arccosx，且y=cosx在区间[0，π]上为单调减函数。

y=arccosx在区间[-1，1]上为单调减函数。

三、利用奇、偶函数的性质判定

定理3：奇、偶函数有以下两点性质：

（1）在以原点对称的区间上奇函数的单调性相同。

（2）在以原点对称的区间上偶函数的单调性相反。

奇函数、偶函数的单调性的对称规律，在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大。对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量划归到同一个单调区间，然后根据单调性判断。

例3 若在区间[-5，-3]上奇函数f（x）为增函数，且最大值为-4，则f（x）在x∈[3，5]上为（ ）

A.f（x）为增函数，最大值为4

B.f（x）为增函数，最小值为4

C.f（x）为减函数，最大值为4

D.f（x）为减函数，最小值为4

解：根据题意可得f（-3）=-4，且由奇函数的单调性可知，在区间[3，5]上f（x）为增函数，f（3）为最小值，则f（3）=-f（-3）=4，所以选B。

四、利用倒函数判定

定理4：若正（或负）值函数f（x）为增（或减）函数，那么其倒函数在公共定义域内为减（或增）函数。

总之，在高中数学学习中，函数单调性的判定是重点与难点知识，我们必须掌握好判定函数单调性的方法，这样才能为函数的学习打下良好基础。本文主要利用了复合函数、反函数的关系、奇函数和偶函数的性质、倒函数、导数来判定函数的单调性，这些都是我们必须掌握的基础知识。

参考文献：

1.吕秀娟.函数单调性的应用[J].教育教学论坛，2013，（40）：89-90.

2.王芳，王平.函数单调性判定定理的推广[J].湖南文理学院学报：自然科学版，2015，（02）：5-9.

（作者单位：山东省济宁市泗水县第一中学）